Nos exercícios a seguir, determine os vetores velocidade e aceleração da partícula cuja função posição é dada.
\vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função posição de uma partícula em \mathbb{R}^3,
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^2,\;t^3\bigr),
e pede os vetores velocidade \vec{v}(t) e aceleração \vec{a}(t). O conteúdo aqui é derivada de funções vetoriais, aplicando derivada componente a componente.

Passo 2

Para obter o vetor velocidade, derivamos cada componente de \vec{r}(t) em relação a t. Assim,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} =\Bigl(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^2,\;\frac{d}{dt}t^3\Bigr) =(1,\;2t,\;3t^2).

Passo 3

Para obter o vetor aceleração, derivamos cada componente de \vec{v}(t) em relação a t. Assim,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} =\Bigl(\frac{d}{dt}1,\;\frac{d}{dt}(2t),\;\frac{d}{dt}(3t^2)\Bigr) =(0,\;2,\;6t).

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=(1,\,2t,\,3t^2) \displaystyle \vec{a}(t)=(0,\,2,\,6t)

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