Resolver
\left(3 x y+3 x^{2} y+3 y^{3}\right) d x+3\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\bigl(3xy+3x^2y+3y^3\bigr)\,dx \;+\;3\bigl(x^2+2y^2\bigr)\,dy=0.
Vamos reescrever como
\frac{dy}{dx} \;=\;-\,\frac{3y\,(x+x^2+y^2)}{3\,(x^2+2y^2)} \;=\;-\,\frac{y\,(x+x^2+y^2)}{x^2+2y^2},
e observar que não é homogênea pura em y/x, mas que a substituição
v=\frac{y}{x},\quad y=v\,x,\quad dy=v\,dx+x\,dv
torna a equação separável.

Passo 2

Substituindo y=vx e dy=v\,dx+x\,dv em
\frac{dy}{dx}=-\frac{y\,(x+x^2+y^2)}{x^2+2y^2}
temos
v+\;x\,\frac{dv}{dx} =-\,\frac{v\,x\bigl(x+x^2+v^2x^2\bigr)}{x^2+2v^2x^2} =-\,\frac{v\,x(x+ x^2(1+v^2))}{x^2(1+2v^2)}.
Isolando \frac{dv}{dx},
\frac{dv}{dx} =-\,\frac{v\,(1+v^2)\,(x+2)}{x\,(1+2v^2)}.
Isso é separável em v e x.

Passo 3

Separe variáveis:
\frac{1+2v^2}{v\,(1+v^2)}\,dv \;=\; -\frac{x+2}{x}\,dx.
Decompomos
\frac{1+2v^2}{v\,(1+v^2)} =\frac{1}{v}+\frac{v}{1+v^2},
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\int\Bigl(\frac{1}{v}+\frac{v}{1+v^2}\Bigr)\,dv =\int\Bigl(-1-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais:
\int\!\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|,\quad \int\!\frac{v}{1+v^2}\,dv=\tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr),
\int\!-1\,dx=-x, \quad \int\!-\frac{2}{x}\,dx=-2\ln|x|.
Somando,
\ln|v|+\tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr) =-\,x-2\ln|x|+C.

Passo 5

Volte a v=y/x. \ln|v|+2\ln|x|=\ln|y|, e
\tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr) =\tfrac12\ln\!\Bigl(\frac{x^2+y^2}{x^2}\Bigr) =\tfrac12\ln(x^2+y^2)-\ln|x|.
Então a relação fica
\ln|y|+\tfrac12\ln\!(x^2+y^2)+x=C',
ou
\ln\bigl(y^2(x^2+y^2)\bigr)+2x=\widetilde C.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
y^2\,(x^2+y^2)\,e^{2x}=\text{constante}.

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