5 Se y \rightarrow \frac{16 \pi}{3} quando x \rightarrow \infty ,determine a solução de
x^{2} y^{\prime} \cos (y)+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'\cos(y)+1=0
sujeita à condição \displaystyle\lim_{x\to\infty}y(x)=\tfrac{16\pi}{3}.
O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a EDO, temos
x^{2}\frac{dy}{dx}\cos(y) = -1
ou seja
\cos(y)\,dy = -\frac{dx}{x^{2}}\,.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \cos(y)\,dy = \int -x^{-2}\,dx
que dá
\sin(y) = \frac{1}{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição \lim_{x\to\infty}y(x)=\tfrac{16\pi}{3}. Quando x\to\infty, o termo 1/x vai a zero, logo
\sin\!\bigl(y(\infty)\bigr)=\sin\!\Bigl(\tfrac{16\pi}{3}\Bigr)=C.
Como \sin(16\pi/3)=\sin(4\pi/3)=-\tfrac{\sqrt3}{2}, segue
C=-\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 5

A solução implícita fica
\sin(y)=\frac{1}{x}-\frac{\sqrt3}{2}.
Para escrever y explicitamente e respeitar a condição limite, usamos a forma geral
y = (-1)^{k}\arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)+k\pi,
e escolhemos k=5 para que \lim_{x\to\infty}y=\tfrac{16\pi}{3}. Assim
y(x) = -\arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) + 5\pi.

Resposta

\boxed{y(x) = -\arcsin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) + 5\pi.}

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