20-A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=12 t-2 t^3 onde a está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em t=3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante t=0 )? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t=0 e t= 3,0 s.

Passo 1

O enunciado fornece a posição da partícula ao longo do eixo x pela função
x(t)=12,t-2,t^3,
pedindo
(a) x, (b) v e (c) a em t=3,0 s;
(d) o máximo positivo de x e (e) quando ocorre;
(f) o máximo positivo de v e (g) quando ocorre;
(h) a aceleração no instante, além de t=0, em que v=0;
(i) a velocidade média entre t=0 e t=3,0 s.
Para resolver, derivamos x(t) para obter v(t) e a(t).

Passo 2

A velocidade é a primeira derivada e a aceleração a segunda:
v(t)=dxdt=12-6,t^2,
a(t)=dvdt=-12,t

Passo 3

Em t=3,0 s:
x(3)=12cdot3-2cdot3^3=36-54=-18 m,
v(3)=12-6cdot3^2=12-54=-42 m/s,
a(3)=-12cdot3=-36 m/s^2

Passo 4

Para achar o máximo de x, resolvemos v(t)=0:
12-6,t^2=0implies t^2=2implies t=raiz2 s;(t>0)
Como a(t)=-12,t<0 em t=raiz2, é um máximo local.

Passo 5

Substituindo t=raiz2 em x(t):
xmax=12raiz2-2(raiz2)^3=12raiz2-4raiz2=8raiz2 m

Passo 6

Como a(t)=-12,t<0 para todo t>0, v(t)=12-6t^2 decresce em t>0 e atinge seu valor máximo em t=0:
vmax=v(0)=12 m/s

Passo 7

Além de t=0, o único instante com v=0 é t=raiz2. A aceleração nesse instante é
a(raiz2)=-12raiz2 m/s^2

Passo 8

A velocidade média de t=0 a t=3 é
bar v=x(3)-x(0)3-0=-18-03=-6 m/s

Resposta

(a) x(3)=-18 m
(b) v(3)=-42 m/s
(c) a(3)=-36 m/s ^2
(d) xmax=8raiz2 m
(e) t=raiz2 s
(f) vmax=12 m/s
(g) t=0 s
(h) a=-12raiz2 m/s ^2
(i) bar v=-6 m/s

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