20-A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
onde a está em metros e
em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em
. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além do instante
)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre
e
3,0 s.
Passo 1
O enunciado fornece a posição da partícula ao longo do eixo
pela função
pedindo
(a) , (b)
e (c)
em
s;
(d) o máximo positivo de e (e) quando ocorre;
(f) o máximo positivo de e (g) quando ocorre;
(h) a aceleração no instante, além de , em que
;
(i) a velocidade média entre e
s.
Para resolver, derivamos para obter
e
.
(a)
(d) o máximo positivo de
(f) o máximo positivo de
(h) a aceleração no instante, além de
(i) a velocidade média entre
Para resolver, derivamos
Passo 2
A velocidade é a primeira derivada e a aceleração a segunda:
Passo 3
Em
s:
Passo 4
Para achar o máximo de
, resolvemos
:
Como
em
, é um máximo local.
Passo 5
Substituindo
em
:
Passo 6
Como
para todo
,
decresce em
e atinge seu valor máximo em
:
Passo 7
Além de
, o único instante com
é
. A aceleração nesse instante é
Passo 8
A velocidade média de
a
é
Resposta
(a)
m
(b) m/s
(c) m/s
(d) m
(e) s
(f) m/s
(g) s
(h) m/s
(i) m/s
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)