59-Considere um vetor a no sentido positivo do eixo x, um vetor b no sentido positivo do eixo y e um escalar d. Qual é a orientação de b / d se d é (a) positivo e (b) negativo? Qual é o módulo de (c) a times b e (d) a times b / d ? Qual é orientação (e) de a times b e (f) b times a ? (g) Qual é o módulo de a times b ? (h) Qual é o módulo de b times a ? Qual é (i) a amplitude e (j) a orientação de a times b / d se d é positivo?

Passo 1

Temos dois vetores em R^3:
a aponta no sentido positivo de x e b aponta no sentido positivo de y.
O escalar d pode ser positivo ou negativo.
Vamos usar as propriedades de multiplicação escalar e produto vetorial para determinar orientações e módulos.

Passo 2

Multiplicação escalar afeta a direção do vetor apenas pelo sinal de d:
– Se d>0, b/d tem a mesma orientação de b, isto é, sentido positivo de y.
– Se d<0, b/d fica invertido, ou seja, sentido negativo de y.

Passo 3

O módulo do produto vetorial é dado por
|atimesb| = |a|,|b|sintheta,
onde theta é o ângulo entre a e b. Como são ortogonais ( theta=90^circ, sin90^circ=1),
|atimesb| = |a|,|b|

Passo 4

Ao dividir atimesb por d, o módulo fica
l|tfracatimesbdr| = |atimesb||d| = |a|,|b||d|

Passo 5

Pela regra da mão direita,
atimesb aponta no sentido positivo de z (para fora do plano xy).
Como btimesa = -,(atimesb), ele aponta no sentido negativo de z.

Passo 6

O módulo de btimesa é igual ao de atimesb, pois |utimesv|=|vtimesu|. Logo,
|btimesa| = |a|,|b|

Passo 7

Se d>0, o vetor tfracatimesbd mantém a orientação de atimesb (positiva em z) e seu módulo é tfrac|a|,|b|d.

Resposta

(a) Sentido positivo de y.
(b) Sentido negativo de y.
(c) |a|,|b|.
(d) |a|,|b||d|.
(e) Sentido positivo de z.
(f) Sentido negativo de z.
(g) |a|,|b|.
(h) |a|,|b|.
(i) |a|,|b||d|.
(j) Sentido positivo de z (já que d>0).

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