59-Considere um vetor a no sentido positivo do eixo , um vetor no sentido positivo do eixo y e um escalar d. Qual é a orientação de se d é (a) positivo e (b) negativo? Qual é o módulo de (c) e (d) ? Qual é orientação (e) de e (f) ? (g) Qual é o módulo de ? (h) Qual é o módulo de ? Qual é (i) a amplitude e (j) a orientação de d se d é positivo?
Passo 1
Temos dois vetores em : aponta no sentido positivo de e aponta no sentido positivo de .
O escalar pode ser positivo ou negativo.
Vamos usar as propriedades de multiplicação escalar e produto vetorial para determinar orientações e módulos.
Passo 2
Multiplicação escalar afeta a direção do vetor apenas pelo sinal de :
– Se , tem a mesma orientação de , isto é, sentido positivo de .
– Se , fica invertido, ou seja, sentido negativo de .
Passo 3
O módulo do produto vetorial é dado por
onde é o ângulo entre e . Como são ortogonais (, ),
Passo 4
Ao dividir por , o módulo fica
Passo 5
Pela regra da mão direita, atimesb aponta no sentido positivo de z (para fora do plano xy).
Como btimesa = -,(atimesb), ele aponta no sentido negativo de z.
Passo 6
O módulo de btimesa é igual ao de atimesb, pois |utimesv|=|vtimesu|. Logo,
|btimesa| = |a|,|b|
Passo 7
Se d>0, o vetor tfracatimesbd mantém a orientação de atimesb (positiva em z) e seu módulo é tfrac|a|,|b|d.
Resposta
(a) Sentido positivo de y.
(b) Sentido negativo de y.
(c) |a|,|b|.
(d) |a|,|b||d|.
(e) Sentido positivo de z.
(f) Sentido negativo de z.
(g) |a|,|b|.
(h) |a|,|b|.
(i) |a|,|b||d|.
(j) Sentido positivo de z (já que d>0).