Em cada caso mostre que é uma autofunção do operador e encontre o autovalor.
(
)\hat{A}f(x)\frac{d^{2}}{d x^{2}}\cos \omega x(
\
)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador
hat A = d^2dx^2
e a função candidata
cos(omega x).
Para mostrar que cos(omega x) é autofunção de hat A precisamos verificar se existe um valor lambda tal que
hat A,cos(omega x)=lambda,cos(omega x)
O conteúdo aqui é simples: usar diferenciação de funções trigonométricas.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de f(x)=cos(omega x).
dfdx=ddxcos(omega x) =-omega,sin(omega x)

Passo 3

Calcular a segunda derivada, que é exatamente o que o operador hat A faz:
d^2fdx^2 =ddxl(-omegasin(omega x)r) =-omegacdotomegacos(omega x) =-omega^2cos(omega x)

Passo 4

Comparando com a definição de autofunção, vemos que
hat A,cos(omega x) =-omega^2cos(omega x),
ou seja, cos(omega x) é autofunção de hat A com autovalor lambda=-omega^2.

Resposta

O autovalor correspondente a cos(omega x) é
lambda=-omega^2

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