Em cada caso mostre que é uma autofunção do operador e encontre o autovalor.
(
)\hat{A}f(x)\frac{d}{d t}e^{i \omega t}(
\
)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(t)=e^iomega t
é autofunção do operador linear
hat A=ddt
e, em seguida, determinar o autovalor associado. Para isso vamos usar a definição de autofunção e a regra básica de derivação de exponencial.

Passo 2

Recordando a definição: uma função f é autofunção de hat A se existir um número lambda tal que
hat A f(t)=lambda,f(t)
Aqui, hat A é simplesmente a derivada em relação a t.

Passo 3

Calculemos a ação de hat A sobre f(t):
hat A,f(t) =ddte^iomega t =iomega,e^iomega t
Usamos que tfracddte^iomega t=iomega,e^iomega t.

Passo 4

Vemos então que
hat A,f(t) =iomega,e^iomega t =(iomega),f(t),
ou seja, f(t) satisfaz a condição de autofunção com autovalor lambda=iomega.

Resposta

lambda = iomega

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