(20 pts) Considere a cônica
4 x^{2}+24 y-20 x-23=0
\begin{aligned} & y=k-\frac{p}{2} \\\ & v=(n, k) \\\ & F=\left(n, k+\frac{p}{2}\right) \end{aligned}
(a) (14 pts) Escreva a equação na forma reduzida.
(b) (6 pts) Determine o vértice, foco e a reta diretriz.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}+24y-20x-23=0
e pede (a) a forma reduzida e (b) vértice, foco e reta diretriz. Vamos reconhecer que só há termo em x^{2}, logo é uma parábola de eixo vertical, e usar completamento de quadrado em x.

Passo 2

Reescrevendo e completando o quadrado em x:
4x^{2}-20x+24y-23=0
4\bigl(x^{2}-5x\bigr)+24y-23=0
4\bigl(x^{2}-5x+\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{4}\bigr)+24y-23=0
4\bigl[(x-\tfrac{5}{2})^{2}-\tfrac{25}{4}\bigr]+24y-23=0
4(x-\tfrac{5}{2})^{2}-25+24y-23=0
4(x-\tfrac{5}{2})^{2}+24y-48=0
(x-\tfrac{5}{2})^{2}+6y-12=0
(x-\tfrac{5}{2})^{2}=12-6y
(x-\tfrac{5}{2})^{2}=-6\,(y-2).

Passo 3

A equação reduzida é
(x-\tfrac{5}{2})^{2}=-6\,(y-2).
Isto é do tipo (x-h)^{2}=4p\,(y-k) com 4p=-6, ou seja p=-\tfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Para uma parábola (x-h)^{2}=4p\,(y-k):
  • Vértice V=(h,k).
  • Foco F=(h,\;k+p).
  • Diretriz y=k-p.
Aqui h=\tfrac{5}{2}, k=2 e p=-\tfrac{3}{2}. Logo
V=\bigl(\tfrac{5}{2},\,2\bigr),
F=\Bigl(\tfrac{5}{2},\,2+(-\tfrac{3}{2})\Bigr)=\bigl(\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr),
\text{diretriz: }y=2-(-\tfrac{3}{2})=2+\tfrac{3}{2}=\tfrac{7}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle (x-\tfrac{5}{2})^{2}=-6\,(y-2).
(b) V=(\tfrac{5}{2},2), F=(\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}), diretriz y=\tfrac{7}{2}.

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