Questão 5 [2 pts - 1 cada]:
[Critério de Divisibilidade por 5] Prove que um inteiro n é divisível por 5 se, e somente se, o último algarismo de n é 0 ou 5 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro n é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo decimal for 0 ou 5. O conteúdo envolvido é o critério de divisibilidade em base 10, e vamos usar o teorema da divisão para escrever n em termos de quociente e resto ao dividir por 10.

Passo 2

Pelo teorema da divisão de inteiros, existem únicos inteiros q e r tais que
n = 10q + r
com
0 \le r \le 9.
Por construção, r é exatamente o último algarismo decimal de n.

Passo 3

Mostramos primeiro que, se n é divisível por 5, então r é 0 ou 5.
Suponha que 5\mid n. Como 10q = 5\cdot(2q) também é múltiplo de 5, temos
5 \mid n = 10q + r \quad\Longrightarrow\quad 5 \mid r.
Entre os inteiros de 0 a 9, os únicos múltiplos de 5 são 0 e 5. Portanto, r\in\{0,5\}.

Passo 4

Agora mostramos a recíproca: se o último algarismo r é 0 ou 5, então 5\mid r. Como 5\mid 10q sempre vale, segue que
5 \mid 10q + r = n,
ou seja, n é divisível por 5.

Resposta

Concluímos que um inteiro n é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo decimal for 0 ou 5.

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