Questão 5 [2 pts - 1 cada]:
[Critério de Divisibilidade por 5] Prove que um inteiro
é divisível por 5 se, e somente se, o último algarismo de
é 0 ou 5 .
[Critério de Divisibilidade por 5] Prove que um inteiro
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro
é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo decimal for 0 ou 5. O conteúdo envolvido é o critério de divisibilidade em base 10, e vamos usar o teorema da divisão para escrever
em termos de quociente e resto ao dividir por 10.
Passo 2
Pelo teorema da divisão de inteiros, existem únicos inteiros
e
tais que
com
Por construção,
é exatamente o último algarismo decimal de
.
Passo 3
Mostramos primeiro que, se
é divisível por 5, então
é 0 ou 5.
Suponha que . Como
também é múltiplo de 5, temos
Suponha que
Entre os inteiros de 0 a 9, os únicos múltiplos de 5 são 0 e 5. Portanto,
.
Passo 4
Agora mostramos a recíproca: se o último algarismo
é 0 ou 5, então
. Como
sempre vale, segue que
ou seja,
é divisível por 5.
Resposta
Concluímos que um inteiro
é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo decimal for 0 ou 5.