( 25 pts ) Determine a equação geral do plano perpendicular aos planos
\begin{aligned} & \pi_{1}:-3 x+2 y-z+2=0 \\\ & \pi_{2}: 3 x-2 z=0 \end{aligned}
que contém o ponto A=(-1,2,-3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \pi que (1) é perpendicular aos planos
\pi_{1}: -3x+2y - z + 2 = 0
\pi_{2}: 3x - 2z = 0
e (2) passa pelo ponto A = (-1,2,-3).
Para um plano ser perpendicular a outro, seu vetor normal deve ser ortogonal ao vetor normal do outro. Logo, se \mathbf{n} é o normal de \pi, vale
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{1}=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{2}=0,
onde \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} são os normais de \pi_{1} e \pi_{2}, respectivamente.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos dados:
\mathbf{n}_{1}=(-3,\,2,\,-1), \quad \mathbf{n}_{2}=(3,\,0,\,-2).
Para que \mathbf{n} seja ortogonal a ambos, podemos tomar o produto vetorial
\mathbf{n} \;=\;\mathbf{n}_{1}\times \mathbf{n}_{2}.

Passo 3

Calculando o determinante para o produto vetorial:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -3 & 2 & -1\\\\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot(-2)-(-1)\cdot0,\;-(-3\cdot(-2)-(-1)\cdot3),\;-3\cdot0-2\cdot3\bigr)
= (-4,\,-9,\,-9).
Podemos usar o vetor multiplicado por -1 para simplificar a escrita, obtendo
\mathbf{n}=(4,\,9,\,9).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(4,9,9) é
4x+9y+9z+D=0.
Para determinar D, usamos o ponto A=(-1,2,-3):
4(-1)+9\cdot2+9(-3)+D=0 \quad\Longrightarrow\quad -4+18-27+D=0 \quad\Longrightarrow\quad D=13.

Resposta

A equação do plano procurado é
4x + 9y + 9z + 13 = 0.

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