Pergunta extra optativa:
Dada a reta
\beta: \quad-x-\frac{1}{5}=\frac{9 y+3^{\frac{1}{3}}}{3}=\frac{\sqrt{5}-z}{2}
  1. (15 pts) Determine a equação reduzida em função de z da reta r que passa pelo ponto (1,2,3) e é perpendicular à reta dada \beta.

Passo 1

O enunciado dá a reta
\beta:\;-x-\tfrac15=\frac{9y+3^{1/3}}{3}=\frac{\sqrt5 - z}{2}
e pede a reta r que passa por P=(1,2,3) e é perpendicular a \beta.
Conteúdo: equações de reta em forma vetorial, projeção de vetores e produto escalar para garantir perpendicularidade.

Passo 2

Escrevemos \beta em forma paramétrica. Seja
t=-x-\tfrac15 \;\Longrightarrow\; x=-t-\tfrac15.
Como \frac{9y+3^{1/3}}{3}=t, temos
9y+3^{1/3}=3t \;\Longrightarrow\; y=\tfrac{t}{3}-\tfrac{3^{1/3}}{9},
e de \frac{\sqrt5 - z}{2}=t vem
z=\sqrt5 -2t.
Logo um ponto de \beta é
A\bigl(-\tfrac15,\,-\tfrac{3^{1/3}}{9},\,\sqrt5\bigr)
e seu vetor diretor
v = (-1,\tfrac13,-2).

Passo 3

Formamos o vetor \overrightarrow{AP} de A até P=(1,2,3):
\overrightarrow{AP} =\bigl(1-(-\tfrac15),\;2-(-\tfrac{3^{1/3}}{9}),\;3-\sqrt5\bigr) =\Bigl(\tfrac{6}{5},\;2+\tfrac{3^{1/3}}{9},\;3-\sqrt5\Bigr).
Para projetar \overrightarrow{AP} sobre v calculamos o escalar
\alpha =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot v}{v\cdot v} =\frac{-\tfrac{6}{5}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{3^{1/3}}{27}+2\sqrt5}{1+\tfrac{1}{9}+4} =\frac{-\tfrac{6}{5}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{3^{1/3}}{27}+2\sqrt5}{\tfrac{46}{9}}.

Passo 4

O vetor diretor de r é a componente de \overrightarrow{AP} perpendicular a v, isto é
d =\overrightarrow{AP}-\alpha\,v.
Se escrevemos
d=(d_x,d_y,d_z),
então
d_x=\tfrac{6}{5}+\alpha, \quad d_y=2+\tfrac{3^{1/3}}{9}-\tfrac{\alpha}{3}, \quad d_z=3-\sqrt5+2\alpha.

Passo 5

A equação reduzida de r em função de z elimina o parâmetro \lambda pela relação
z=3 + d_z\,\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda=\frac{z-3}{d_z}.
Substituindo em x=1+d_x\,\lambda e y=2+d_y\,\lambda, obtemos
\boxed{ \begin{aligned} x(z)&=1+\frac{d_x}{d_z}\,\bigl(z-3\bigr),\\\ y(z)&=2+\frac{d_y}{d_z}\,\bigl(z-3\bigr), \end{aligned} }
onde
d_x=\tfrac{6}{5}+\alpha,\quad d_y=2+\tfrac{3^{1/3}}{9}-\tfrac{\alpha}{3},\quad d_z=3-\sqrt5+2\alpha, \quad \alpha=\frac{-\tfrac{6}{5}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{3^{1/3}}{27}+2\sqrt5}{\tfrac{46}{9}}.

Resposta

\begin{cases} x=1+\dfrac{\tfrac{6}{5}+\alpha}{3-\sqrt{5}+2\alpha}\,(z-3),\\[6pt] y=2+\dfrac{2+\tfrac{3^{1/3}}{9}-\tfrac{\alpha}{3}}{3-\sqrt{5}+2\alpha}\,(z-3), \end{cases} \quad\text{com}\quad \alpha=\frac{-\tfrac{6}{5}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{3^{1/3}}{27}+2\sqrt{5}}{\tfrac{46}{9}}.]

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