-(2,0 pts)Questāo 3.Usando o Teorema de Green,calcule a circulação, \oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{T} d s=\oint_{C} M d x+N d y de \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{i}+x \vec{j} ao longo da circunferência unitária C ,no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
\oint_{C} \vec{F}\cdot\vec{T}\,ds \;=\;\oint_{C}M\,dx + N\,dy
da campo \vec{F}(x,y)=(x-y)\,\vec{i}+x\,\vec{j} ao longo da circunferência unitária C no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral de área sobre o disco unitário D.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada C que sela uma região D
\oint_{C}M\,dx + N\,dy \;=\;\iint_{D}\biggl(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\biggr)dA.

Passo 3

Identificamos
M(x,y)=x-y,\quad N(x,y)=x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (x)}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (x - y)}{\partial y} = -1.
Logo, o integrando é
\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Como o integrando é constante, a integral dupla sobre o disco unitário de raio 1 vale
\iint_{D}2\,dA = 2 \times \text{Área}(D) = 2 \times \pi\,(1)^2 = 2\pi.Á

Resposta

\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{T}\,ds = 2\pi.

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