Determine a área da superfície z=1+2 x+3 y+4^{2}, 1 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície definida pelo gráfico da função
z = f(x,y) = 1 + 2x + 3y + 4^{2},
no domínio
R = \{(x,y)\mid 1 \le x \le 4,\;0 \le y \le 1\}.
O conteúdo é a fórmula de área de superfície de um gráfico z=f(x,y):
S = \iint_{R} \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_y\bigr)^2}\,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Note que 4^2 é constante, logo
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(1+2x+3y+16) = 2, \qquad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(1+2x+3y+16) = 3.

Passo 3

Substituímos na fórmula da área:
S = \iint_{R} \sqrt{1 + 2^2 + 3^2}\,dA = \iint_{R} \sqrt{1 + 4 + 9}\,dA = \iint_{R} \sqrt{14}\,dA.
Como \sqrt{14} é constante, fica
S = \sqrt{14} \iint_{R} dA = \sqrt{14} \cdot \bigl(\text{área de }R\bigr).á
A área de R é
(4-1)\times(1-0) = 3.

Resposta

S = 3\sqrt{14}.

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