-(2,0 pts)Questão 5.Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
,onde
é a superficie da semi-esfera de raio 2 ,orientada pela normal exterior(vetor norma apontando para fora)e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é a parte curva da semiesfera de raio
(assumimos a semiesfera superior
), com a normal exterior ao volume
(o hemisfério). Para usar o Teorema da Divergência, fechamos
incluindo o disco
, de modo que
Passo 2
Vamos calcular a divergência de
. Escrevendo
temos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Como
, a integral tripla vale
. Logo
Passo 4
No disco
(base do hemisfério) temos
e a normal exterior aponta para baixo, isto é,
.
Como não tem componente em
, temos
Como
logo
.
Passo 5
Da relação
segue