-(2,0 pts)Questão 5.Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} \vec{n} d \sigma ,onde S é a superficie da semi-esfera de raio 2 ,orientada pela normal exterior(vetor norma apontando para fora)e \vec{F}=-e^{x} \cos (y) \vec{i}+e^{x} \operatorname{sen}(y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma
onde S é a parte curva da semiesfera de raio 2 (assumimos a semiesfera superior x^2+y^2+z^2=4,\\ z\ge0), com a normal exterior ao volume V (o hemisfério). Para usar o Teorema da Divergência, fechamos V incluindo o disco D\colon z=0,\\ x^2+y^2\le4, de modo que
\partial V = S\cup D.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de \vec F. Escrevendo
\vec F = -e^x\cos(y)\,\mathbf{i}+e^x\sin(y)\,\mathbf{j}+0\;\mathbf{k},
temos
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^x\cos y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\sin y\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(0) =-e^x\cos y + e^x\cos y + 0 =0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec F)\,dV =\iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma =\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma +\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma.
Como \nabla\cdot\vec F=0, a integral tripla vale 0. Logo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma +\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma =0.

Passo 4

No disco D (base do hemisfério) temos z=0 e a normal exterior aponta para baixo, isto é,
\vec n=-\mathbf{k}.
Como \vec F não tem componente em \mathbf{k}, temos
\vec F\cdot\vec n =\bigl(-e^x\cos y,\,e^x\sin y,\,0\bigr)\cdot(0,0,-1) =0,
logo
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma=0.

Passo 5

Da relação
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma +\underbrace{\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma}_{0} =0
segue
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,d\sigma=0.

Resposta

0

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