-(2,0 pts)Questāo 4.Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação \oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{T} d s do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(2 x+y) \vec{i}-(3 x-y-z) \vec{k} ,onde C é a fronteira do triângulo cortado do plano x+4 y+3 z=1 pelo primeiro octante,no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{T}\,ds
do campo
\vec{F}(x,y,z)=(2x+y)\,\vec{i}-(3x-y-z)\,\vec{k}
ao longo de C, que é a fronteira do triângulo obtido cortando o plano
\,x+4y+3z=1
no primeiro octante, orientado anti-horário quando visto de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{T}\,ds =\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde S é a superfície limitada por C.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Escrevendo
\vec{F}=(P,Q,R) com
P=2x+y,
Q=0,
R=-3x+y+z,
temos
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(1,3,-1).

Passo 3

Escolher a superfície S como o triângulo no plano
\,x+4y+3z=1
em que x\ge0, y\ge0, z\ge0. Da equação do plano isolamos
z=\frac{1-x-4y}{3},
e projetamos em xy-plano a região
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+4y\le1\}.

Passo 4

Determinar o elemento vetorial de área orientado. Para z=f(x,y) com
\displaystyle f(x,y)=\frac{1-x-4y}{3}, vale
\vec{n}\,dS =\bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dA =\Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{4}{3},\,1\Bigr)\,dA,
escolhendo o sinal que confere componente z>0, coerente com o sentido anti-horário visto de cima.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{T}\,ds =\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{D}(1,3,-1)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3},1\Bigr)\,dA =\iint_{D}\frac{10}{3}\,dA.
A região D é um triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,\tfrac14), cuja área é
\text{Área}(D)=\frac12\cdot1\cdot\frac14=\frac18.Á

Passo 6

Portanto,
\oint_{C}\vec{F}\cdot\vec{T}\,ds =\frac{10}{3}\times\frac18 =\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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