-(2,0 pts)Questāo 4.Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação
do campo vetorial
,onde
é a fronteira do triângulo cortado do plano
pelo primeiro octante,no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado pede a circulação
do campo
ao longo de , que é a fronteira do triângulo obtido cortando o plano
no primeiro octante, orientado anti-horário quando visto de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
do campo
ao longo de
no primeiro octante, orientado anti-horário quando visto de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é a superfície limitada por
.
Passo 2
Calcular o rotacional
. Escrevendo
com
,
,
,
temos
temos
Passo 3
Escolher a superfície
como o triângulo no plano
em que ,
,
. Da equação do plano isolamos
em que
e projetamos em
-plano a região
Passo 4
Determinar o elemento vetorial de área orientado. Para
com
, vale
escolhendo o sinal que confere componente
, coerente com o sentido anti-horário visto de cima.
Passo 5
Aplicar o Teorema de Stokes:
A região
é um triângulo com vértices
,
,
, cuja área é
Passo 6
Portanto,