-(3,0 pts)Questăo 2.Considere o campo vetorial
.
a)Calcule,usando uma parametrização,o trabalho
realizado por
ao longo do caminho dado pelo segmento de reta que comega em
e termina em
.
b)Mostre que
es campo conservativo.
c)Calcule o trabalho realizado por
ao longo de
encontrando uma funçāo potencial para
,
d)Calcule o trabalho realizado por
ao longo do circulo de raio 2 .
a)Calcule,usando uma parametrização,o trabalho
b)Mostre que
c)Calcule o trabalho realizado por
d)Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
– (a) o trabalho ao longo do segmento de reta de
a
usando parametrização;
– (b) mostrar que é conservativo;
– (c) calcular o trabalho usando uma função potencial;
– (d) calcular o trabalho ao longo do círculo de raio 2.
– (a) o trabalho
– (b) mostrar que
– (c) calcular o trabalho usando uma função potencial;
– (d) calcular o trabalho ao longo do círculo de raio 2.
Os conteúdos necessários são integrais de linha, critério de campo conservativo em
e potencial escalar.
Passo 2
Para (a), parametrizamos o segmento de reta de
a
por
de modo que
Em seguida,
,
Logo o integrando é
Então
Passo 3
Para (b), note que em
temos
Calculamos
logo
em todo
, que é simplesmente conexo. Assim
é conservativo.
Passo 4
Para (c), achamos uma função potencial
satisfazendo
. Integramos
Depois exigimos
:
Portanto
é potencial de
. O trabalho de
a
é
confirmando o resultado de (a).
Passo 5
Para (d), como
é conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero. Em particular, no círculo de raio 2 temos
Resposta
a)
.
b) Como , o campo é conservativo.
c) .
d) .
b) Como
c)
d)