-(3,0 pts)Questăo 2.Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=2 x y^{3} \vec{i}+\left(1+3 x^{2} y^{2}\right) \vec{j}
a)Calcule,usando uma parametrização,o trabalho \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} realizado por \vec{F} ao longo do caminho dado pelo segmento de reta que comega em (0,0) e termina em (1,-4)
b)Mostre que \vec{F} es campo conservativo.
c)Calcule o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de C encontrando uma funçāo potencial para \vec{F}
d)Calcule o trabalho realizado por \vec{F} ao longo do circulo de raio 2 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=2xy^{3}\,\vec{i}+\bigl(1+3x^{2}y^{2}\bigr)\,\vec{j}
e pede:
– (a) o trabalho \displaystyle\int_{C}\vec F\cdot d\vec r ao longo do segmento de reta de (0,0) a (1,-4) usando parametrização;
– (b) mostrar que \vec F é conservativo;
– (c) calcular o trabalho usando uma função potencial;
– (d) calcular o trabalho ao longo do círculo de raio 2.
Os conteúdos necessários são integrais de linha, critério de campo conservativo em \mathbb R^2 e potencial escalar.

Passo 2

Para (a), parametrizamos o segmento de reta de (0,0) a (1,-4) por
\vec r(t)=(t,\,-4t),\quad t\in[0,1],
de modo que
\vec r\,'(t)=(1,-4).
Em seguida,
\;x=t,\;y=-4t\Rightarrow y^{3}=-64t^{3},
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=\bigl(2t\cdot(-64t^{3}),\;1+3t^{2}\,(16t^{2})\bigr) =(-128t^{4},\,1+48t^{4}).
Logo o integrando é
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t) =-128t^{4}\cdot1+(1+48t^{4})\cdot(-4) =-128t^{4}-4-192t^{4}=-4-320t^{4}.
Então
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}\bigl(-4-320t^{4}\bigr)\,dt =\Bigl[-4t-\tfrac{320}{5}t^{5}\Bigr]_{0}^{1} =-4-64=-68.

Passo 3

Para (b), note que em \vec F=(P,Q) temos
P(x,y)=2xy^{3},\quad Q(x,y)=1+3x^{2}y^{2}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =6xy^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =6xy^{2},
logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb R^2, que é simplesmente conexo. Assim \vec F é conservativo.

Passo 4

Para (c), achamos uma função potencial f satisfazendo
\partial f/\partial x=P. Integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy^{3} \;\Longrightarrow\; f(x,y)=\int2xy^{3}\,dx =x^{2}y^{3}+g(y).
Depois exigimos \partial f/\partial y=Q:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}+g'(y) \stackrel!=1+3x^{2}y^{2} \;\Longrightarrow\; g'(y)=1\;\Rightarrow\;g(y)=y+C.
Portanto
f(x,y)=x^{2}y^{3}+y
é potencial de \vec F. O trabalho de (0,0) a (1,-4) é
f(1,-4)-f(0,0) =\bigl(1^{2}\cdot(-4)^{3}+(-4)\bigr)-(0+0) =-64-4=-68,
confirmando o resultado de (a).

Passo 5

Para (d), como \vec F é conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero. Em particular, no círculo de raio 2 temos
\oint_{|x|^{2}+|y|^{2}=4}\vec F\cdot d\vec r =0.

Resposta

a) -68.
b) Como \partial P/\partial y=6xy^{2}=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo.
c) -68.
d) 0.

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