(40 pontos) Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}(t)-4 y^{\prime}(t)+5 y(t)=e^{2 t} ; \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0
por transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y''(t)-4y'(t)+5y(t)=e^{2t}, \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo é solução de EDO linear de segunda ordem e usaremos as propriedades da transformada de Laplace para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0),
e \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\tfrac{1}{s-2}. Como y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)-4\bigl(sY(s)\bigr)+5Y(s)=\frac{1}{s-2}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo, fica
\bigl(s^2-4s+5\bigr)Y(s)=\frac{1}{s-2},
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Y(s)=\frac{1}{(s-2)\bigl(s^2-4s+5\bigr)}.

Passo 4

Observamos que
s^2-4s+5=(s-2)^2+1,
então
Y(s)=\frac{1}{(s-2)\bigl((s-2)^2+1\bigr)}.
Vamos decompor em frações parciais da forma
\frac{1}{(s-2)\bigl((s-2)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s-2}+\frac{Bs+C}{(s-2)^2+1}.

Passo 5

Multiplicando pelos denominadores comuns, requer-se
1 =A\bigl((s-2)^2+1\bigr)+(Bs+C)(s-2).
Comparando coeficientes em s^2, s e termo constante, obtemos
A=1,\quad B=-1,\quad C=2.
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Y(s) =\frac{1}{s-2}+\frac{-s+2}{(s-2)^2+1} =\frac{1}{s-2}-\frac{s-2}{(s-2)^2+1}.

Passo 6

Invertemos cada termo usando tabelas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-2}\Bigr\}(t)=e^{2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^2+1}\Bigr\}(t)=e^{2t}\cos t.
Portanto
y(t)=e^{2t}-e^{2t}\cos t =e^{2t}\bigl(1-\cos t\bigr).

Resposta

y(t)=e^{2t}\bigl(1-\cos t\bigr).

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