Exercício 7. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico \vec{E} e o campo magnético \vec{H}, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
\begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{E}=0 \\\ & \nabla \cdot \vec{H}=0 \\\ & \nabla \times \vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\\ & \nabla \times \vec{H}=\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
onde c denota a velocidade da luz. Utilize as equações de Maxwell para demonstrar:
a) \nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\frac{1}{c} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial^{2} t}.
b) \nabla \times(\nabla \times \vec{H})=-\frac{1}{c} \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial^{2} t}.
c) \nabla^{2} \vec{E}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial^{2} t}.
d) \nabla^{2} \vec{H}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial^{2} t}.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de Maxwell em região sem carga nem corrente:
\begin{aligned} &\nabla\cdot\vec{E}=0,\\\ &\nabla\cdot\vec{H}=0,\\\ &\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t},\\\ &\nabla\times\vec{H}= \frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{aligned}
Queremos usar cálculo vetorial (aplicar operadores \nabla\times e o identidade \nabla\times(\nabla\times\cdot)) para chegar às equações de onda
\nabla^2\vec{E}=\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} \quad\text{e}\quad \nabla^2\vec{H}=\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}.

Passo 2

Aplicamos o operador \nabla\times em ambos os lados de
\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.
Como derivada temporal e rotacional comutam, vem
\nabla\times\bigl(\nabla\times\vec{E}\bigr) =\nabla\times\Bigl(-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}\Bigr) =-\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\vec{H}\bigr).
Substituindo \nabla\times\vec{H}=\tfrac{1}{c}\,\partial\vec{E}/\partial t resulta
\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =-\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\Bigr) =-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.

Passo 3

De modo totalmente análogo, aplicamos \nabla\times em
\nabla\times\vec{H}=\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},
obtendo
\nabla\times(\nabla\times\vec{H}) =\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{E}) =\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}\Bigr) =-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =\nabla\bigl(\nabla\cdot\vec{E}\bigr) -\nabla^2\vec{E}.
Como \nabla\cdot\vec{E}=0, segue
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\nabla^2\vec{E}.
Igualando com o resultado do Passo 2:
-\nabla^2\vec{E} =-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\vec{E} =\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.

Passo 5

Analogamente para \vec{H}, a mesma identidade dá
\nabla\times(\nabla\times\vec{H}) =-\nabla^2\vec{H}
que, comparada ao resultado do Passo 3,
-\nabla^2\vec{H} =-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\vec{H} =\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}.

Resposta

a) \displaystyle \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.
b) \displaystyle \nabla\times(\nabla\times\vec{H})=-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}.
c) \displaystyle \nabla^2\vec{E}=\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.
d) \displaystyle \nabla^2\vec{H}=\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}.

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