Exercício 7. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
onde
denota a velocidade da luz. Utilize as equações de Maxwell para demonstrar:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá as equações de Maxwell em região sem carga nem corrente:
Queremos usar cálculo vetorial (aplicar operadores
e o identidade
) para chegar às equações de onda
Passo 2
Aplicamos o operador
em ambos os lados de
Como derivada temporal e rotacional comutam, vem
Substituindo
resulta
Passo 3
De modo totalmente análogo, aplicamos
em
obtendo
Passo 4
Usamos a identidade vetorial
Como
, segue
Igualando com o resultado do Passo 2:
Passo 5
Analogamente para
, a mesma identidade dá
que, comparada ao resultado do Passo 3,
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)