Questão
Seja
uma sequência de números reais e seja
a sequência definida por
. Considere as afirmações abaixo:
se
é convergente, então
se lim
, então
é convergente;
III - se
é limitada, então
é limitada.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas I.
(b) apenas III.
(c) apenas I e II.
(d) apenas II e III.
(e) I, II e III.
III - se
(a) apenas I.
(b) apenas III.
(c) apenas I e II.
(d) apenas II e III.
(e) I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que fala sobre sequências e séries matemáticas. A gente tem uma sequência
de números reais e uma sequência das somas parciais
. Precisamos analisar três afirmações para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre convergência de sequências e séries.
Passo 2
Afirmação I: Se
é convergente, então
.
Vamos entender isso. Se a soma das primeiras
parcelas,
, converge para algum limite quando
vai para o infinito, isso significa que os termos que estamos somando estão ficando cada vez menores. Mais precisamente, para que a série
convirja, é necessário que o termo geral
tenda a zero. Isso faz sentido porque se os termos não vão a zero, a soma não consegue se estabilizar.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
, então
é convergente.
Aqui, a gente tem que o termo geral
tende a zero, mas isso não garante que a soma das parcelas vai convergir. Um exemplo clássico disso é a série harmônica, onde
. Apesar de
, a soma
diverge, ou seja, não tem um limite finito.
Conclusão: A afirmação II é falsa.
Passo 4
Afirmação III: Se
é limitada, então
é limitada.
Vamos analisar isso. Se a sequência
é limitada, significa que existe um número
tal que
para todo
. Porém, isso não garante que a soma das parcelas
seja limitada. Por exemplo, se
para todo
, então
, que cresce sem limite, mesmo que cada
seja limitado por 1.
Conclusão: A afirmação III é falsa.
Resposta
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas I.