20^ a Questão

Seja an uma sequência de números reais e seja Sn a sequência definida por Sn=a1+a2+ldots+an. Considere as afirmações abaixo:
I- se Sn é convergente, então lim an=0 ;
I I- se lim an=0, então Sn é convergente;
III - se an é limitada, então Sn é limitada.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas I.
(b) apenas III.
(c) apenas I e II.
(d) apenas II e III.
(e) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que fala sobre sequências e séries matemáticas. A gente tem uma sequência an de números reais e uma sequência das somas parciais Sn = a1 + a2 + ldots + an . Precisamos analisar três afirmações para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre convergência de sequências e séries.

Passo 2

Afirmação I: Se Sn é convergente, então lim an = 0 .
Vamos entender isso. Se a soma das primeiras n parcelas, Sn , converge para algum limite quando n vai para o infinito, isso significa que os termos que estamos somando estão ficando cada vez menores. Mais precisamente, para que a série Sn convirja, é necessário que o termo geral an tenda a zero. Isso faz sentido porque se os termos não vão a zero, a soma não consegue se estabilizar.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se lim an = 0 , então Sn é convergente.
Aqui, a gente tem que o termo geral an tende a zero, mas isso não garante que a soma das parcelas vai convergir. Um exemplo clássico disso é a série harmônica, onde an = 1n . Apesar de lim 1n = 0 , a soma Sn = 1 + 12 + 13 + ldots + 1n diverge, ou seja, não tem um limite finito.
Conclusão: A afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: Se an é limitada, então Sn é limitada.
Vamos analisar isso. Se a sequência an é limitada, significa que existe um número M tal que |an| <= M para todo n . Porém, isso não garante que a soma das parcelas Sn seja limitada. Por exemplo, se an = 1 para todo n , então Sn = n , que cresce sem limite, mesmo que cada an seja limitado por 1.
Conclusão: A afirmação III é falsa.

Resposta

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas I.

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