Determine os valores de:
(1-i)^5 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores de . O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo a expoente complexo, e vamos precisar usar a forma polar de e a definição
onde é o logaritmo complexo multi-valorado.

Passo 2

Primeiro, escrevemos 1 - i em forma polar. A magnitude é
|1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
e o argumento geral é
arg(1 - i) = -pi4 + 2pi k,
com kinZ.

Passo 3

A definição de logaritmo complexo multi-valorado é

Passo 4

Agora usamos . Substituindo a expressão de obtemos
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Passo 5

O valor principal corresponde a k=0. Nesse caso
(1 - i)^5i = e^5pi/4,e^5iln!raiz2 = e^5pi/4l(raiz2r)^5i

Resposta

(1 - i)^5i = expl(5pi/4 -10pi k +5iln!raiz2r), kinZ,
sendo a escolha k=0 a valor principal
(1 - i)^5i = e^5pi/4,e^5ilnraiz2

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