Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?
R.: 420 anos
R.: 420 anos
Passo 1
O enunciado diz que os períodos de translação de Júpiter, Saturno e Urano em torno do Sol são, respectivamente,
,
e
anos. Queremos saber em quantos anos a partir de agora eles voltarão a alinhar-se exatamente nas mesmas posições. Esse tipo de problema se resolve calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos.
Passo 2
Para obter o MMC, fatoramos cada período em fatores primos:
Passo 3
O MMC é a combinação de todos os primos envolvidos, usando o maior expoente que aparece em qualquer fatoração. Aqui temos os primos
,
,
e
com os maiores expoentes:
Logo,
Passo 4
Basta agora multiplicar esses valores:
Passo 5
Isso significa que somente após
anos todos os três planetas terão completado um número inteiro de órbitas e, portanto, voltarão a ocupar simultaneamente as mesmas posições relativas.