Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?
R.: 420 anos

Passo 1

O enunciado diz que os períodos de translação de Júpiter, Saturno e Urano em torno do Sol são, respectivamente, ,12, ,30 e ,84 anos. Queremos saber em quantos anos a partir de agora eles voltarão a alinhar-se exatamente nas mesmas posições. Esse tipo de problema se resolve calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos.

Passo 2

Para obter o MMC, fatoramos cada período em fatores primos:
12 = 2^2 times 3,
30 = 2 times 3 times 5,
84 = 2^2 times 3 times 7

Passo 3

O MMC é a combinação de todos os primos envolvidos, usando o maior expoente que aparece em qualquer fatoração. Aqui temos os primos 2, 3, 5 e 7 com os maiores expoentes:
2^2, 3^1, 5^1, 7^1
Logo,
MMC = 2^2 times 3 times 5 times 7

Passo 4

Basta agora multiplicar esses valores:
2^2 times 3 times 5 times 7 = 4 times 3 times 5 times 7 = 12 times 35 = 420

Passo 5

Isso significa que somente após ,420 anos todos os três planetas terão completado um número inteiro de órbitas e, portanto, voltarão a ocupar simultaneamente as mesmas posições relativas.

Resposta

420 anos

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