[20%] Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDO dada abaixo, utilizandose da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=g(x) (note que o g(x) é escolhido quando o termo que acompanha o y^prime prime é igual a 1 ):
yp(x)=-y1(x) integral y2(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x+y2(x) integral y1(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x
Dê a solução geral da EDO x^2 y^prime prime+10 x y^prime+8 y=x^2, x>0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO x^2y''+10xy'+8y=x^2, x>0, usando o método de variação de parâmetros. Vamos colocar na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x), achar as soluções fundamentais da homogênea e aplicar a fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Dividindo por x^2 (já que x>0) obtemos
y''+10xy'+8x^2y=1,
ou seja p(x)=10/x, q(x)=8/x^2 e g(x)=1. A homogênea correspondente é
y''+10xy'+8x^2y=0,
que é uma equação de Euler–Cauchy.

Passo 3

Na forma de Euler assumimos y=x^m. Substituindo na homogênea:
m(m-1)+10m+8=0Longrightarrow m^2+9m+8=0Longrightarrow m=-1,,-8
Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=x^-1, y2(x)=x^-8

Passo 4

Calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)= x^-1 & x^-8 -,x^-2 & -8x^-9 =-8x^-10+x^-10=-7x^-10

Passo 5

Aplicando a fórmula
yp=-y1integraly2,gW,dx +y2integraly1,gW,dx,
com g(x)=1, temos
-y1integralx^-8-7x^-10dx =-x^-1integrall(-tfrac17x^2r)dx =x^-1x^321 =x^221,
y2integralx^-1-7x^-10dx =x^-8integrall(-tfrac17x^9r)dx =-x^-8x^1070 =-x^270
Somando os dois termos,
yp(x)=x^221-x^270=x^230

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1x^-1+C2x^-8+x^230,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1x^-1+C2x^-8+x^230

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