[20pts] Considere a EDO de primeira ordem geral
. Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a EDO:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a equação
é exata e, em seguida, resolver essa EDO de primeira ordem. O conteúdo aqui é “EDO exata”: a gente vai precisar checar se
,
onde e
. Depois, encontrar uma função potencial
tal que
e
, e por fim escrever a solução implícita
.
onde
Passo 2
Primeiro, calculo as derivadas parciais para ver se é exata:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, buscamos
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para achar
, fazemos
e igualamos a
:
Mas sabemos que
deve ser
. Logo
Então
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
com
constante.