[20pts] Considere a EDO de primeira ordem geral M(x, y) d x+N(x, y) d y=0. Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a EDO:
(2 y^2 x-3) d x+(2 y x^2+4) d y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a equação
(2y^2x - 3),dx + (2yx^2 + 4),dy = 0
é exata e, em seguida, resolver essa EDO de primeira ordem. O conteúdo aqui é “EDO exata”: a gente vai precisar checar se
partial Mpartial y = partial Npartial x,
onde M(x,y)=2y^2x-3 e N(x,y)=2yx^2+4. Depois, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N, e por fim escrever a solução implícita Psi(x,y)=C.

Passo 2

Primeiro, calculo as derivadas parciais para ver se é exata:
partial Mpartial y =partialpartial y(2y^2x-3) =4yx,
partial Npartial x =partialpartial x(2yx^2+4) =4yx
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora, buscamos Psi(x,y) tal que Psix=M. Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2y^2x - 3),dx = y^2 x^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para achar h(y), fazemos Psiy e igualamos a N:
Psiy = partialpartial yl(y^2x^2 - 3x + h(y)r) = 2yx^2 + h'(y)
Mas sabemos que Psiy deve ser N(x,y)=2yx^2+4. Logo
2yx^2 + h'(y) = 2yx^2 + 4 Longrightarrow h'(y) = 4 Longrightarrow h(y)=4y
Então
Psi(x,y)=y^2x^2 -3x + 4y

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
boxedx^2y^2 - 3x + 4y = C,
com C constante.

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