Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime-y^prime-2 y=cosh 2 x

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos resolver a equação diferencial não homogênea
y'' - y' - 2y = cosh 2x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Ou seja, vamos encontrar primeiro a solução geral da homogênea yh e depois uma solução particular yp, de modo que a solução completa seja
y(x)=yh(x)+yp(x)

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' - y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0Longrightarrow (r-2)(r+1)=0,
logo r=2 ou r=-1. Assim
yh(x)=C1e^2x+C2e^-x

Passo 3

Como termo não homogêneo temos cosh 2x=tfrac12(e^2x+e^-2x), propomos um yp da forma
yp(x)=A,x,e^2x+B,e^-2x
Repare que e^2x é solução da homogênea, por isso multiplicamos por x, enquanto e^-2x não colide com e^-x.

Passo 4

Derivando e substituindo em y''-y'-2y obtém-se
yp'=A e^2x(1+2x)-2B e^-2x, yp''=4A(x+1)e^2x+4B e^-2x,
então
yp''-yp'-2yp =3A,e^2x+4B,e^-2x
Queremos isto igual a cosh2x=tfrac12e^2x+tfrac12e^-2x, daí
3A=tfrac12,4B=tfrac12 Longrightarrow A=tfrac16,;B=tfrac18

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^2x+C2e^-x+tfrac16,x,e^2x+tfrac18,e^-2x

Resposta

y(x)=C1e^2x+C2e^-x+x,e^2x6+e^-2x8

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