Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções abaixo:
g(t)=integral0^t[(t-tau)^4 cdot e^-3 tau cdot cos (5 tau)] d tau
para tanto explique cada um dos passos de como foi feito tal questão, não se esquecendo de indicar qual é o intervalo s>beta onde tal transformada existe, respostas sem justificativas serão consideradas erradas.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
g(t)=integral0^t (t-tau)^4,e^-3taucos(5tau),dtau,
que é a convolução de
f(t)=(t)^4 com h(t)=e^-3tcos(5t)
O conteúdo usado será o teorema da convolução para transformadas de Laplace e as transformadas básicas de t^n e de e^atcos(bt).

Passo 2

Pelo teorema da convolução, se
g(t)=(f*h)(t)=integral0^tf(t-tau),h(tau),dtau,
então
Lg(t)(s)=Lf(t)(s);times;Lh(t)(s)

Passo 3

Calculamos Lf(t) com f(t)=t^4. A transformada geral de t^n é
Lt^n(s)=n!s^,n+1,
logo, para n=4:
Lt^4(s)=4!s^5=24s^5,
válida para Re(s)>0.

Passo 4

Agora Lh(t) com h(t)=e^-3tcos(5t). A fórmula padrão é
Le^atcos(bt)(s) =s-a(s - a)^2+b^2
Aqui a=-3 e b=5, então
Le^-3tcos(5t)(s) =s-(-3)(s-(-3))^2+5^2 =s+3(s+3)^2+25,
válida para Re(s+3)>0, isto é, Re(s)>-3.

Passo 5

Multiplicando as duas transformadas pelo teorema da convolução:
Lg(t)(s) =24s^5;times;s+3(s+3)^2+25 =24,(s+3)s^5l[(s+3)^2+25r]

Passo 6

A região de convergência é a interseção de Re(s)>0 (de t^4) com Re(s)>-3 (de e^-3tcos5t), resultando em
Re(s)>0

Resposta

Lg(t)(s) =24,(s+3)s^5l[(s+3)^2+25r], s>0

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