20- Resolver o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y}, \quad y(0)=1
e determinar o intervalo em que a solução é válida. Dica: para encontrar o intervalo onde a solução é válida, determine os pontos onde \frac{d x}{d y}=0.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y'=\frac{1+3x^2}{3y^2-6y}, \quad y(0)=1.
Este é um EDO separável: vamos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro, integrar e depois usar a condição inicial. Para achar o intervalo de validade, usaremos a dica de estudar onde \tfrac{dx}{dy}=0, ou seja, onde o denominador de y' se anula.

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} =\frac{1+3x^2}{3y^2-6y} \quad\Longrightarrow\quad (3y^2-6y)\,dy=(1+3x^2)\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int(3y^2-6y)\,dy =\int(1+3x^2)\,dx.

Passo 3

Calculemos as integrais:
\int(3y^2-6y)\,dy =\int3y^2\,dy-\int6y\,dy =y^3-3y^2+C_1,
\int(1+3x^2)\,dx =\int1\,dx+\int3x^2\,dx =x + x^3 + C_2.
Igualando e juntando constantes C=C_2-C_1, obtemos
y^3-3y^2 = x + x^3 + C.
Usando y(0)=1:
1^3-3\cdot1^2 = 0+0+C \;\Longrightarrow\; -2=C.

Passo 4

A solução implícita satisfaz
y^3 - 3y^2 = x^3 + x - 2.

Passo 5

Para achar onde a solução deixa de existir, examinamos
\frac{dx}{dy} =\frac{3y^2-6y}{1+3x^2}.
Anula-se quando 3y^2-6y=0, ou seja y(y-2)=0. Assim y=0 ou y=2. Para cada valor de y achamos o x correspondente pela implícita:
  1. Se y=0:
0 - 0 = x^3 + x - 2 \;\Longrightarrow\; x^3 + x - 2=0 \;\Longrightarrow\; x=1.
  1. Se y=2:
8 - 12 = x^3 + x - 2 \;\Longrightarrow\; -4 = x^3 + x - 2 \;\Longrightarrow\; x^3 + x +2=0 \;\Longrightarrow\; x=-1.

Passo 6

O valor inicial x=0 está entre -1 e 1, e a solução perde unicidade ou deixa de existir ao atingir x=-1 (quando y=2) ou x=1 (quando y=0). Portanto o intervalo de validade é
-1 < x < 1.

Resposta

A solução implícita é
y^3 - 3y^2 = x^3 + x - 2,
válida no intervalo
x\in(-1,1).

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