20- Resolver o problema de valor inicial
e determinar o intervalo em que a solução é válida. Dica: para encontrar o intervalo onde a solução é válida, determine os pontos onde
.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
Este é um EDO separável: vamos escrever todos os termos em
de um lado e em
do outro, integrar e depois usar a condição inicial. Para achar o intervalo de validade, usaremos a dica de estudar onde
, ou seja, onde o denominador de
se anula.
Passo 2
Separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 3
Calculemos as integrais:
Igualando e juntando constantes
, obtemos
Usando
:
Passo 4
A solução implícita satisfaz
Passo 5
Para achar onde a solução deixa de existir, examinamos
Anula-se quando
, ou seja
. Assim
ou
. Para cada valor de
achamos o
correspondente pela implícita:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
O valor inicial
está entre
e
, e a solução perde unicidade ou deixa de existir ao atingir
(quando
) ou
(quando
). Portanto o intervalo de validade é
Resposta
A solução implícita é
válida no intervalo