Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
(9-x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).
(9-x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem linear em
. Vamos reescrevê-la na forma padrão
e então usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Reescrevendo a equação:
passamos o
para o lado direito e multiplicamos por
:
Como
, dividimos por
para isolar
:
Passo 3
O coeficiente de
é
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
:
O lado esquerdo é
. Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
, obtemos a solução geral
Passo 5
Usamos a condição inicial
: