Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
(9-x y^{\prime}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0).

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
9 - x\,y' + 2y = x^2 - x + 1,\quad y(1)=\tfrac12,\quad x>0.
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem linear em y. Vamos reescrevê-la na forma padrão
y' + P(x)y = Q(x)
e então usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a equação:
9 - x\,y' + 2y = x^2 - x + 1
passamos o 9 para o lado direito e multiplicamos por -1:
x\,y' - 2y = -\,x^2 + x + 8.
Como x>0, dividimos por x para isolar y':
y' - \frac{2}{x}\,y = -\,x + 1 + \frac{8}{x}.

Passo 3

O coeficiente de y é P(x) = -2/x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-2\ln x) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = -x^{-1} + x^{-2} + 8x^{-3}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}(x^{-2}y). Integramos ambos os lados:
x^{-2}y = \int\bigl(-x^{-1} + x^{-2} + 8x^{-3}\bigr)\,dx = -\ln x \;-\; x^{-1}\;-\;4x^{-2} \;+\; C.
Multiplicando por x^2, obtemos a solução geral
y(x) = -\,x^2\ln x \;-\; x \;-\; 4 \;+\; C\,x^2.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=\tfrac12:
y(1) = -1\cdot\ln1 -1 -4 + C\cdot1 = -5 + C = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{11}{2}.

Resposta

\boxed{ y(x) = -\,x^2\ln x \;+\;\tfrac{11}{2}\,x^2 \;-\; x \;-\; 4. }

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