Nos problemas de 7 a 10, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
(8-y^{\prime}+2 y=x e^{-2 x}, y(1)=0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + 2y = x\,e^{-2x},\quad y(1)=0.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x)=2, logo o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = x,
que é o mesmo que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=x.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y = \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y:
y = \Bigl(\frac{x^2}{2} + C\Bigr)e^{-2x}.
Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = \Bigl(\tfrac{1}{2} + C\Bigr)e^{-2}\quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo C=-\tfrac12 na expressão de y, fica
y(x) = \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\Bigr)e^{-2x} = \frac{x^2 - 1}{2}\,e^{-2x}.

Resposta

y(x) = \frac{x^2 - 1}{2}\,e^{-2x}.

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