Determinar se as equações dos problemas 23 e 24 são ou não são exatas. Para as exatas, achar a solução.
(23-\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
- \bigl(2x y^{2} + 2y\bigr)\;+\;\bigl(2x^{2}y + 2x\bigr)\,y'=0
é exata. Aqui estamos no tema de equações diferenciais exatas, em que se escreve a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e testamos se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = -\bigl(2x y^{2} + 2y\bigr) \quad\text{e}\quad N(x,y) = 2x^{2}y + 2x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\bigl(4xy + 2\bigr), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4xy + 2.

Passo 4

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -\bigl(4xy + 2\bigr) \neq 4xy + 2 = \frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x não se satisfaz.

Resposta

A equação dada não é exata.

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