Suponha que um novo sistema de coordenadas (x^prime, y^prime) é obtido do usual por uma rotação dos vetores i e j da base canônica de 30^circ no sentido positivo, mantendo-se fixa a origem. Qual é a equação do eixo x nas novas coordenadas?

Passo 1

O enunciado diz que giramos os eixos canônicos (i,j) de 30^circ no sentido positivo (anti-horário), mantendo fixa a origem, e pede a equação do eixo x original (isto é, a reta y=0 no sistema usual) expressa em coordenadas (x',y'). Vamos usar a transformação entre coordenadas antiga (x,y) e nova (x',y').

Passo 2

Como o novo eixo x' é obtido rotacionando i em 30^circ e o novo eixo y' é obtido rotacionando j em 30^circ, qualquer ponto satisfaz
x = x'cos30^circ - y'sin30^circ,
y = x'sin30^circ + y'cos30^circ

Passo 3

Na reta original x (eixo x antigo) temos y=0. Substituindo na segunda relação:
0 = x'sin30^circ + y'cos30^circ Longrightarrow x',12 + y',raiz32 = 0
Multiplicando por 2 obtemos
x' + raiz3,y' = 0

Resposta

A equação do eixo x original no sistema de coordenadas (x',y') é
x' + raiz3,y' = 0

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