Suponha que um novo sistema de coordenadas
é obtido do usual por uma rotação dos vetores
e
da base canônica de
no sentido positivo, mantendo-se fixa a origem. Qual é a equação do eixo
nas novas coordenadas?
Passo 1
O enunciado diz que giramos os eixos canônicos
de
no sentido positivo (anti-horário), mantendo fixa a origem, e pede a equação do eixo
original (isto é, a reta
no sistema usual) expressa em coordenadas
. Vamos usar a transformação entre coordenadas antiga
e nova
.
Passo 2
Como o novo eixo
é obtido rotacionando
em
e o novo eixo
é obtido rotacionando
em
, qualquer ponto satisfaz
Passo 3
Na reta original
(eixo
antigo) temos
. Substituindo na segunda relação:
Multiplicando por
obtemos
Resposta
A equação do eixo
original no sistema de coordenadas
é