8.20 Show that, for any system \mathcal{H} that is either additive or homogeneous, if a sequence x is identically zero (i.e., x(n)=0 for all n ), then \mathcal{H} x is identically zero (i.e., \mathcal{H} x(n)=0 for all n ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o seguinte: seja \mathcal{H} um sistema que satisfaz ou a propriedade de aditividade ou a propriedade de homogeneidade. Dada uma sequência x identicamente zero, isto é, x(n)=0 para todo n, provar que \mathcal{H}x também é a sequência identicamente zero, isto é, \mathcal{H}x(n)=0 para todo n.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência x é a sequência zero: x(n)=0 para todo n.
  • O sistema \mathcal{H} satisfaz uma (pelo menos) das propriedades abaixo:
    • aditividade: \mathcal{H}(x_1+x_2)=\mathcal{H}x_1+\mathcal{H}x_2 para quaisquer sequências x_1,x_2;
    • homogeneidade: \mathcal{H}(\alpha x)=\alpha\,\mathcal{H}x para qualquer escalar \alpha e qualquer sequência x.

Passo 2

Vou lembrar e explicar claramente as definições que vou usar:
  • Aditividade significa que, para quaisquer sequências x_1 e x_2,
\mathcal{H}(x_1+x_2)=\mathcal{H}x_1+\mathcal{H}x_2.
Aqui x_1+x_2 é a soma termo a termo: (x_1+x_2)(n)=x_1(n)+x_2(n). As saídas \mathcal{H}x também são sequências, cujas amostras são números reais (ou complexos), então podemos operar term a term.
  • Homogeneidade significa que, para qualquer escalar \alpha e qualquer sequência x,
\mathcal{H}(\alpha x)=\alpha\,\mathcal{H}x,
onde (\alpha x)(n)=\alpha\cdot x(n) e (\alpha\,\mathcal{H}x)(n)=\alpha\cdot(\mathcal{H}x(n)).
Vou tratar separadamente os dois casos (aditivo e homogêneo), mostrando passo a passo por que a saída para a entrada zero é a sequência zero.

Passo 3

Caso aditivo.
Seja 0 a sequência identicamente zero (ou seja, 0(n)=0 para todo n). Pela aditividade, aplicando \mathcal{H} à soma 0+0 obtém-se
\mathcal{H}(0)=\mathcal{H}(0+0)=\mathcal{H}(0)+\mathcal{H}(0).
Denote y=\mathcal{H}(0); então a igualdade fica y=y+y. Tomando as amostras por n, isso é
y(n)=y(n)+y(n)\quad\text{para todo }n.
Agora fazemos a conta elementar em números: se um número a satisfaz a=a+a, então subtraindo a dos dois lados obtemos 0=a. Aplicando isso a cada amostra y(n) (subtração é válida porque as amostras são números), concluímos que
y(n)=0\quad\text{para todo }n.
Portanto \mathcal{H}(0) é a sequência identicamente zero. Como x é a sequência zero, \mathcal{H}x=\mathcal{H}(0)=0.

Passo 4

Caso homogêneo.
Considere qualquer sequência arbitrária z. A sequência 0\cdot z é a sequência identicamente zero, porque (0\cdot z)(n)=0\cdot z(n)=0 para todo n. Pela propriedade de homogeneidade com o escalar \alpha=0 temos
\mathcal{H}(0\cdot z)=0\cdot\mathcal{H}z.
O lado esquerdo é \mathcal{H} aplicada à sequência zero, e o lado direito é a sequência obtida multiplicando por zero cada amostra de \mathcal{H}z, isto é, a sequência identicamente zero. Logo
\mathcal{H}(0)=0.
Em notação de amostras: \mathcal{H}(0)(n)=0 para todo n. Como x é a sequência zero, segue que \mathcal{H}x=\mathcal{H}(0)=0.

Passo 5

Conclusão e comentário final.
Em resumo, se \mathcal{H} é aditivo então a igualdade \mathcal{H}(0)=\mathcal{H}(0)+\mathcal{H}(0) força \mathcal{H}(0) a ser a sequência zero; se \mathcal{H} é homogêneo então usar \alpha=0 na homogeneidade dá diretamente \mathcal{H}(0)=0. Portanto, em qualquer dos dois casos, a entrada identicamente zero produz saída identicamente zero:
\mathcal{H}x(n)=0\quad\text{para todo }n.
Força aí — é um resultado bem clássico e útil: sistemas aditivos ou homogêneos respeitam o zero.

Resposta

\mathcal{H}x(n)=0 para todo n.

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