8.20 Show that, for any system
that is either additive or homogeneous, if a sequence
is identically zero (i.e.,
for all
), then
is identically zero (i.e.,
for all
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o seguinte: seja
um sistema que satisfaz ou a propriedade de aditividade ou a propriedade de homogeneidade. Dada uma sequência
identicamente zero, isto é,
para todo
, provar que
também é a sequência identicamente zero, isto é,
para todo
.
Informações relevantes dadas:
- A sequência
é a sequência zero: para todo . - O sistema
satisfaz uma (pelo menos) das propriedades abaixo: - aditividade:
para quaisquer sequências ; - homogeneidade:
para qualquer escalar e qualquer sequência .
- aditividade:
Passo 2
Vou lembrar e explicar claramente as definições que vou usar:
- Aditividade significa que, para quaisquer sequências
e ,
Aqui
é a soma termo a termo:
. As saídas
também são sequências, cujas amostras são números reais (ou complexos), então podemos operar term a term.
- Homogeneidade significa que, para qualquer escalar
e qualquer sequência ,
onde
e
.
Vou tratar separadamente os dois casos (aditivo e homogêneo), mostrando passo a passo por que a saída para a entrada zero é a sequência zero.
Passo 3
Caso aditivo.
Seja
a sequência identicamente zero (ou seja,
para todo
). Pela aditividade, aplicando
à soma
obtém-se
Denote
; então a igualdade fica
. Tomando as amostras por
, isso é
Agora fazemos a conta elementar em números: se um número
satisfaz
, então subtraindo
dos dois lados obtemos
. Aplicando isso a cada amostra
(subtração é válida porque as amostras são números), concluímos que
Portanto
é a sequência identicamente zero. Como
é a sequência zero,
.
Passo 4
Caso homogêneo.
Considere qualquer sequência arbitrária
. A sequência
é a sequência identicamente zero, porque
para todo
. Pela propriedade de homogeneidade com o escalar
temos
O lado esquerdo é
aplicada à sequência zero, e o lado direito é a sequência obtida multiplicando por zero cada amostra de
, isto é, a sequência identicamente zero. Logo
Em notação de amostras:
para todo
. Como
é a sequência zero, segue que
.
Passo 5
Conclusão e comentário final.
Em resumo, se
é aditivo então a igualdade
força
a ser a sequência zero; se
é homogêneo então usar
na homogeneidade dá diretamente
. Portanto, em qualquer dos dois casos, a entrada identicamente zero produz saída identicamente zero:
Força aí — é um resultado bem clássico e útil: sistemas aditivos ou homogêneos respeitam o zero.