1.20 A superfície interna de uma camada isolante está a 270^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa está dissipando calor por convecção para o ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. A camada isolante tem 4 cm de espessura e uma condutividade térmica de 1,2 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) . \mathrm{Qual} é o valor mínimo do coeficiente de transferência de calor na superfície externa para que a temperatura dessa superfície não exceda 70^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado descreve uma parede plana de espessura L=4\:\mathrm{cm} 0,04\:\mathrm{m} com a superfície interna a T_i=270^{\circ}\mathrm{C} e a superfície externa exposta ao ar a T_\infty=20^{\circ}\mathrm{C}. A condutividade térmica do isolante é k=1{,}2\:\mathrm{W/(m\cdot^{\circ}C)}. Queremos determinar o coeficiente convectivo mínimo h para que a temperatura externa T_s não ultrapasse 70^{\circ}\mathrm{C}. O conteúdo aqui é condução unidimensional estacionária combinada com convecção na superfície externa.

Passo 2

Pela lei de Fourier para condução em regime permanente e unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área é
q = \frac{k}{L}\,(T_i - T_s).

Passo 3

Pela lei de Newton do resfriamento (convecção), o mesmo fluxo estacionário satisfaz
q = h\,(T_s - T_\infty).

Passo 4

Em regime permanente, os fluxos são iguais e fixamos T_s=70^{\circ}\mathrm{C}. Assim,
\frac{k}{L}\,(T_i - T_s) \;=\; h\,(T_s - T_\infty).
Isolando h,
h = \frac{k}{L}\,\frac{T_i - T_s}{T_s - T_\infty}.

Passo 5

Substituindo os valores:
\frac{k}{L} = \frac{1{,}2}{0{,}04} = 30\:\mathrm{W/(m^2\cdot^{\circ}C)},
T_i - T_s = 270 - 70 = 200\:\!^{\circ}\mathrm{C}, \quad T_s - T_\infty = 70 - 20 = 50\:\!^{\circ}\mathrm{C}.
Logo,
h = 30 \times \frac{200}{50} = 30 \times 4 = 120\:\mathrm{W/(m^2\cdot^{\circ}C)}.

Resposta

O valor mínimo do coeficiente de transferência de calor é
h_{\mathrm{mín}} = 120\:\mathrm{W/(m^2\cdot^{\circ}C)}.í

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