1^{\circ} ) ( \mathbf{2 , 5} pontos) Um processo exotérmico ocorre de modo uniforme ao longo de uma esfera ( \mathrm{k}=300 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \mathrm{cp}=400 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \rho=7500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) de 10 cm de diâmetro, gerando calor a uma taxa constante de 1.2 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3}. A esfera está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25^{\circ} \mathrm{C}, e o processo exotérmico inicia-se no momento \mathrm{t}=0. Para manter a temperatura da esfera sob controle, ela é imersa em banho líquido mantido a 25^{\circ} \mathrm{C}. O Coeficiente de transferência de calor na superfície da esfera é 260 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}.K. Devido a alta condutividade térmica da esfera, a resistência condutiva dentro dela pode ser negligenciada rm comparação com a resistência convectiva da superfície.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio
b) Em quanto tempo a esfera vai atingir 95 \% da temperatura de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio r=0{,}05\\ \mathrm{m} que gera calor uniformemente à razão de q'''=1{,}2\times10^6\\ \mathrm{W/m}^3, imersa em fluido a T_\infty=25\\ ^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=260\\ \mathrm{W/m^2K}. A condutividade elevada k=300\\ \mathrm{W/mK} permite usar o modelo de capacitância concentrada (modelo lumped), pois o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h\,r}{k}\approx\frac{260\cdot0{,}05}{300}\approx0{,}043<0{,}1.
Logo a esfera está praticamente isoterma internamente.

Passo 2

No estado estacionário, a potência gerada volumetricamente na esfera se iguala à potência dissipada por convecção na sua superfície. Escrevemos
q'''\,V \;=\; h\,A\,(T_{eq}-T_\infty),
onde
V=\tfrac{4}{3}\pi r^3, \quad A=4\pi r^2.

Passo 3

Isolando a diferença de temperaturas obtemos
T_{eq}-T_\infty =\frac{q'''\,V}{h\,A} =\frac{q'''\,\bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^3\bigr)}{h\,\bigl(4\pi r^2\bigr)} =\frac{q'''\,r}{3\,h}.
Substituindo valores numéricos:
T_{eq}-25 =\frac{1{,}2\times10^6\cdot0{,}05}{3\cdot260} \approx76{,}9\\ ^\circ\mathrm{C},
portanto
T_{eq}\approx25+76{,}9=101{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para o regime transitório usamos a solução lumped:
T(t)-T_\infty =(T_{eq}-T_\infty)\Bigl[1-e^{-t/\tau}\Bigr],
onde a constante de tempo térmica \tau vale
\tau =\frac{\rho\,c_p\,V}{h\,A} =\frac{\rho\,c_p\,r}{3\,h}.
Com \rho=7500\\ \mathrm{kg/m^3} e c_p=400\times10^3\\ \mathrm{J/kgK}:
\tau =\frac{7500\cdot400000\cdot0{,}05}{3\cdot260} \approx1{,}92\times10^5\\ \mathrm{s} \approx53{,}4\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Para achar o tempo em que T(t) atinge 95\% de T_{eq}-T_\infty, impomos
1-e^{-t/\tau}=0{,}95 \;\Longrightarrow\; e^{-t/\tau}=0{,}05 \;\Longrightarrow\; t=-\tau\ln(0{,}05) \approx1{,}92\times10^5\cdot\ln(20) \approx5,77\times10^5\\ \mathrm{s}.
Convertendo,
t\approx5{,}77\times10^5\\ \mathrm{s}\approx160\\ \mathrm{h} \approx6{,}7\\ \mathrm{dias}.

Resposta

a) T_{eq}\approx101{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}.
b) t_{95\%}\approx5,77\times10^5\\ \mathrm{s}\approx160\\ \mathrm{h}.

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