Exercício 3. (Consumo de potência em um agitador e mudança de escala). Uma turbina de disco de seis lâminas retas tem um diâmetro de 0,203 \mathrm{~m} e é utilizada em um tanque com diâmetro de 0,61 \mathrm{~m} altura de 0,61 \mathrm{~m}. A largura da turbina é de 0,0405 \mathrm{~m}. Quatro defletores são utilizados, todos possuindo uma largura de 0,051 \mathrm{~m}. A turbina opera a 275 rpm com um líquido que possui densidade de 909 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e viscosidade de 0,020 Pa.s.
(a) Calcule o kW requerido pelo sistema de agitação e identifique a intensidade de agitação.
(b) Aumente a escala desse sistema de agitação para um volume de 100 vezes superior ao original. Considere potência por volume como fator para mudança de escala, além das seguintes relações geométricas: \mathrm{Dt} / \mathrm{H}=1 ; \mathrm{Da} / \mathrm{Dt}=1 / 3 ; \mathrm{C} / \mathrm{Da}=1. Calcule as dimensões e a potência para esse novo sistema de agitação.
(c) Considerando uma eficiência mecânica de 60 \%, qual a potência do motor comercial que você escolheria? Respostas:

Passo 1

O enunciado descreve um agitador com disco de seis lâminas retas de diâmetro D_{t}=0,203\,\mathrm{m} e largura C=0,0405\,\mathrm{m}, instalado em um tanque cilíndrico de diâmetro D=0,61\,\mathrm{m} e altura H=0,61\,\mathrm{m}. Há quatro defletores de largura b=0,051\,\mathrm{m}. A turbina gira a 275 rpm em um líquido de densidade \rho=909\,\mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu=0,020\,\mathrm{Pa\cdot s}.
(a) Pedem-se a potência em kW e a intensidade de agitação P/V.
(b) Escalona-se o sistema para 100\times o volume, mantendo as razões geométricas
\frac{D_{t}}{H}=1,\quad \frac{D_{a}}{D_{t}}=\tfrac13,\quad \frac{C}{D_{a}}=1,
e tomando potência por volume constante. Calcular as novas dimensões e a potência.
(c) Com eficiência mecânica de 60\%, escolher a potência comercial do motor.

Passo 2

Convertendo a velocidade de rotação para N em s ^{-1}:
N = \frac{275}{60}\approx 4,5833\;\mathrm{s^{-1}}.
Calculamos o número de Reynolds de agitação
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,N\,D_{t}^{2}}{\mu} = \frac{909\cdot4,5833\cdot(0,203)^{2}}{0,020} \approx 8{,}6\times10^{3}.
Como \mathrm{Re}\gtrsim10^{3}, estamos na faixa turbulenta, em que o número de potência \mathrm{Np} é aproximadamente constante.

Passo 3

Para turbina de disco de lâminas retas, em regime turbulento adota-se tipicamente \mathrm{Np}\approx5.
A correlação de potência é
P = \mathrm{Np}\,\rho\,N^{3}\,D_{t}^{5}.
Substituindo valores:
N^{3} \approx 4,5833^{3}=96,4, \quad D_{t}^{5}=(0,203)^{5}\approx3,45\times10^{-4}\,\mathrm{m^{5}},
P =5\cdot909\cdot96,4\cdot3,45\times10^{-4} \approx151\,\mathrm{W} =0,151\,\mathrm{kW}.

Passo 4

O volume do tanque é
V = \frac{\pi D^{2}H}{4} = \frac{\pi\,(0,61)^{2}\,(0,61)}{4} \approx0,1787\,\mathrm{m^{3}}.
A intensidade de agitação é
\frac{P}{V}=\frac{0,151}{0,1787}\approx0,845\;\mathrm{kW/m^{3}}.

Passo 5

Para escalar o volume em 100 vezes mantendo P/V constante, o fator linear de escala é
k = 100^{1/3}\approx4,64.
Novas dimensões:
D_{t,new}=k\,D_{t}=4,64\cdot0,203\approx0,942\,\mathrm{m}, \quad H_{new}=D_{t,new}\approx0,942\,\mathrm{m},
D_{a,new}=\tfrac13\,D_{t,new}\approx0,314\,\mathrm{m}, \quad C_{new}=D_{a,new}\approx0,314\,\mathrm{m},
largura dos defletores
b_{new}=k\cdot0,051\approx0,237\,\mathrm{m},
e volume
V_{new}=100\,V\approx17,87\,\mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Como P/V é constante,
P_{new} = \frac{P}{V}\,V_{new} =0,845\cdot17,87 \approx15,1\,\mathrm{kW}.

Passo 7

Considerando eficiência mecânica \eta=60\%, a potência do motor deve ser
P_{\text{motor}}=\frac{P_{new}}{\eta} =\frac{15,1}{0,60} \approx25,2\,\mathrm{kW},
e adota-se um motor comercial de 30\,\mathrm{kW}.

Resposta

(a) P=0,151\,\mathrm{kW}; intensidade P/V\approx0,845\,\mathrm{kW/m^{3}}.
(b) D_{t}=0,942\,\mathrm{m}, H=0,942\,\mathrm{m}, D_{a}=0,314\,\mathrm{m}, C=0,314\,\mathrm{m}, defletores b=0,237\,\mathrm{m}; P=15,1\,\mathrm{kW}.
(c) P_{\rm motor}\approx25,2\,\mathrm{kW}, optar por motor de 30\,\mathrm{kW}.

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