Ar está vazando de um balão esférico a uma taxa de \pi \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{min}. Qual a taxa de variação do raio ( \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{min} ) quando este for de 10 mm ?

Passo 1

O enunciado diz que o volume de um balão esférico está diminuindo à razão de \pi\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} (vazando), e quer saber a velocidade com que o raio muda quando ele mede 10\\ \mathrm{mm}. O conteúdo é taxas relacionadas, usando a fórmula do volume de uma esfera e derivada implícita.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera é
V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3.
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
\frac{dV}{dt} = 4\,\pi\,r^2\,\frac{dr}{dt}.
Isolando \frac{dr}{dt}, vem
\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\,\pi\,r^2}\,\frac{dV}{dt}.

Passo 3

Quando r = 10\\ \mathrm{mm} = 1\\ \mathrm{cm} e como o volume está diminuindo a \pi\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}, temos \tfrac{dV}{dt} = -\pi. Logo,
\frac{dr}{dt} = \frac{-\pi}{4\,\pi\,(1)^2} = -\frac{1}{4}\\ \mathrm{cm/min}.

Resposta

-\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{cm/min}

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