200 g de alumínio a 100^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 50,0 \mathrm{~g} de água a 50,0^{\circ} \mathrm{C}, e a mistura é isolada termicamente. (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema? (b) Qual a variação de entropia da água? (c) Do alumínio? (d) do sistema total?

Passo 1

O enunciado diz que misturamos termicamente isolados m_{\text{Al}}=200,g de alumínio inicialmente a 100^\circ\mathrm{C} e m_{\text{água}}=50,0á,g de água inicialmente a 50,0^\circ\mathrm{C}. Precisamos (a) achar a temperatura de equilíbrio T_f usando conservação de energia (calor ganho = calor perdido) e depois (b), (c) e (d) calcular as variações de entropia da água, do alumínio e do sistema total usando
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m\,c\,dT}{T}=m\,c\ln\frac{T_f}{T_i}.

Passo 2

Adotando \;c_{\text{água}}=4,18á,J/( g\cdot K), \;c_{\text{Al}}=0,900,J/( g\cdot K),
e convertendo para Kelvin \;T_{\text{i,água}}=50,0+273,15=323,15á,K, \;T_{\text{i,Al}}=100+273,15=373,15,K,
impondo
m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\bigl(T_{\text{i,Al}}-T_f\bigr) = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\bigl(T_f-T_{\text{i,água}}\bigr),ááá
temos
200\cdot0,900\,(373,15-T_f) = 50,0\cdot4,18\,(T_f-323,15).
Resolvendo
180\,(373,15-T_f)=209\,(T_f-323,15) \;\Longrightarrow\; T_f\approx346,30\text{ K},
ou seja
T_f\approx346,30-273,15=73,15^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Para a água, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{água}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}} \ln\frac{T_f}{T_{\text{i,água}}} = 50,0\cdot4,18\;\ln\frac{346,30}{323,15} \;\approx\;14,4\;\mathrm{J/K}.áááá

Passo 4

Para o alumínio, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{Al}} = m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}} \ln\frac{T_f}{T_{\text{i,Al}}} = 200\cdot0,900\;\ln\frac{346,30}{373,15} \;\approx\;-13,5\;\mathrm{J/K}.

Passo 5

A variação total de entropia do sistema é
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{água}}+\Delta S_{\text{Al}} \approx14,4+(-13,5)=0,9\;\mathrm{J/K}.á

Resposta

(a) T_f\approx73,2^\circ\mathrm{C}.
(b) \Delta S_{\text{água}}\approx14,4\;\mathrm{J/K}.á
(c) \Delta S_{\text{Al}}\approx-13,5\;\mathrm{J/K}.
(d) \Delta S_{\text{total}}\approx0,9\;\mathrm{J/K}.

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