Se
1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, o maior volume possível da caixa seria:
1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, o maior volume possível da caixa seria:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos 1.200 cm² de material para construir uma caixa sem tampa, e a base dessa caixa é quadrada. Queremos descobrir qual é o maior volume que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização na matemática, que nos ajudam a encontrar os valores máximos ou mínimos de funções.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis. Seja x o lado da base quadrada da caixa e h a altura da caixa. Como a base é quadrada, sua área é x². A caixa não tem tampa, então a área total do material usado será a soma da área da base mais a área das quatro laterais. A área de cada lateral é x * h, e como são quatro, a área total das laterais é 4xh. Portanto, a área total usada é:
Passo 3
Sabemos que a área total disponível é 1.200 cm², então podemos escrever a equação:
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa. O volume V de uma caixa com base quadrada é dado por:
Queremos encontrar os valores de x e h que tornam o volume V o maior possível, respeitando a restrição da área total de 1.200 cm².
Passo 5
Vamos expressar h em termos de x usando a equação da área total:
Isolando h:
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de h na fórmula do volume:
Passo 7
Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a derivada a zero. A derivada de V é:
Igualando a derivada a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Passo 9
Agora, encontramos h usando a expressão que obtivemos:
Resposta
O maior volume possível da caixa é 4.000 cm³, com a base de 20 cm de lado e altura de 10 cm.