Se
1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, o maior volume possível da caixa seria:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos 1.200 cm² de material para construir uma caixa sem tampa, e a base dessa caixa é quadrada. Queremos descobrir qual é o maior volume que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização na matemática, que nos ajudam a encontrar os valores máximos ou mínimos de funções.

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis. Seja x o lado da base quadrada da caixa e h a altura da caixa. Como a base é quadrada, sua área é . A caixa não tem tampa, então a área total do material usado será a soma da área da base mais a área das quatro laterais. A área de cada lateral é x * h, e como são quatro, a área total das laterais é 4xh. Portanto, a área total usada é:
x² + 4xh ²

Passo 3

Sabemos que a área total disponível é 1.200 cm², então podemos escrever a equação:
x² + 4xh = 1200 ²

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa. O volume V de uma caixa com base quadrada é dado por:
V = x²h ²
Queremos encontrar os valores de x e h que tornam o volume V o maior possível, respeitando a restrição da área total de 1.200 cm².

Passo 5

Vamos expressar h em termos de x usando a equação da área total:
x² + 4xh = 1200 ²
Isolando h:
4xh = 1200 - x² ²
h = 1200 - x²4x ²

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de h na fórmula do volume:
V = x² ( 1200 - x²4x ) ²²
V = x²(1200 - x²)4x ²²
V = 1200x² - x⁴4x ²
V = 300x - x³4 ³

Passo 7

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a derivada a zero. A derivada de V é:
V'(x) = dVdx = 300 - 3x²4 ²
Igualando a derivada a zero:
300 - 3x²4 = 0 ²

Passo 8

Resolvendo a equação:
3x²4 = 300 ²
x² = 300 times 43 ²
x² = 400 ²
x = raiz400
x = 20 cm

Passo 9

Agora, encontramos h usando a expressão que obtivemos:
h = 1200 - x²4x ²
h = 1200 - 4004 times 20
h = 80080
h = 10 cm

Resposta

O maior volume possível da caixa é 4.000 cm³, com a base de 20 cm de lado e altura de 10 cm.

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