O método das fraçŏes parciais é um dos métodos mais utilizados na resolução de integrais. Usando este método, calcule a integral ∫ 8 4 − x 2 d x
Passo 1
Então, a gente tem uma integral pra resolver usando o método das frações parciais. O enunciado é: calcular
. Esse método é super útil quando a gente tem uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A ideia é dividir essa fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e achar constantes que facilitam a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método das frações parciais. Queremos escrever
como a soma de duas frações mais simples:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 5
Podemos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar
:
Agora, vamos deixar
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada parte separadamente. Lembrando que
e
:
Somando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar ainda mais combinando os logaritmos: