O método das fraçŏes parciais é um dos métodos mais utilizados na resolução de integrais. Usando este método, calcule a integral ∫ 8 4 − x 2 d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral pra resolver usando o método das frações parciais. O enunciado é: calcular integral 84 - x^2 , dx. Esse método é super útil quando a gente tem uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A ideia é dividir essa fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar. Vamos precisar fatorar o denominador e achar constantes que facilitam a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 4 - x^2. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
4 - x^2 = (2)^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
Agora, nossa integral fica:
integral 8(2 - x)(2 + x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar o método das frações parciais. Queremos escrever 8(2 - x)(2 + x) como a soma de duas frações mais simples:
8(2 - x)(2 + x) = A2 - x + B2 + x
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B.

Passo 4

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (2 - x)(2 + x):
8 = A(2 + x) + B(2 - x)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 5

Podemos escolher valores de x que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar x = 2:
8 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 8 = A(4) + B(0) Rightarrow A = 2
Agora, vamos deixar x = -2:
8 = A(2 - 2) + B(2 + 2) Rightarrow 8 = A(0) + B(4) Rightarrow B = 2

Passo 6

Agora que temos A = 2 e B = 2, podemos reescrever a fração original:
8(2 - x)(2 + x) = 22 - x + 22 + x
Então, nossa integral fica:
integral 84 - x^2 , dx = integral 22 - x , dx + integral 22 + x , dx

Passo 7

Vamos integrar cada parte separadamente. Lembrando que integral 1a - x , dx = -ln|a - x| e integral 1a + x , dx = ln|a + x|:
integral 22 - x , dx = -2 ln|2 - x|
integral 22 + x , dx = 2 ln|2 + x|
Somando as duas integrais, temos:
-2 ln|2 - x| + 2 ln|2 + x| + C
Podemos simplificar ainda mais combinando os logaritmos:
2 ln|2 + x2 - x| + C

Resposta

integral 84 - x^2 , dx = 2 ln|2 + x2 - x| + C

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