De 200 famílias que assistiam televisão, durante um intervalo de tempo, em New York verificou-se que 45 sintonizavam a emissora A. De 110 famílias em New Jersey, 32 sintonizavam a mesma estação, no mesmo período observado. Teste a hipótese que a emissora A é igualmente popular em
ambos os estados, a um nível de significância de 5%.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de famílias que sintonizam a emissora A: em New York são n_1=200 famílias com x_1=45 sintonizando, e em New Jersey são n_2=110 famílias com x_2=32 sintonizando. O conteúdo é o teste de hipótese para diferença entre duas proporções, usando aproximação normal, ao nível de significância de 5\%.

Passo 2

Formulamos as hipóteses
H_0: p_1 = p_2
H_1: p_1 \neq p_2
onde p_1 e p_2 são as proporções reais de fãs da emissora A em New York e New Jersey, respectivamente. Como H_1 é bilateral, usaremos o teste z com \alpha=0,05.

Passo 3

Calculamos as proporções amostrais
\hat p_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{45}{200} = 0,225,
\hat p_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{32}{110} \approx 0,2909.

Passo 4

Sob H_0, usamos a proporção combinada
\hat p = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{45 + 32}{200 + 110} = \frac{77}{310} \approx 0,2484.

Passo 5

O erro padrão da diferença de proporções é
SE = \sqrt{\hat p\,(1-\hat p)\,\Bigl(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\Bigr)} = \sqrt{0,2484 \times 0,7516 \times \Bigl(\frac{1}{200} + \frac{1}{110}\Bigr)} \approx 0,0513.

Passo 6

A estatística de teste z fica
z = \frac{\hat p_1 - \hat p_2}{SE} = \frac{0,225 - 0,2909}{0,0513} \approx -1,29.

Passo 7

Calculamos o p-valor bilateral
\text{p-valor} = 2\,P\bigl(Z \le -1,29\bigr) \approx 2 \times 0,0985 = 0,197.
Como \text{p-valor} = 0,197 > \alpha = 0,05, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência, ao nível de 5\%, de diferença na popularidade da emissora A entre New York e New Jersey.

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