Um escritório de investimento afirma para seus clientes que o rendimento das diversas ações movimentadas por ele nao tem muita variabildade, afirmando que desvio padrão nao supera 5 \%. Para verificar a hipótese, tomaram-se 8 empresas ao acaso, obtendo-se os seguintes rendimentos (dados em %): 23,6; 22,8; 25,7; 24,8; 26,4; 24,3; 23,9 e 25. Considere o investmento tendo distribuição normal.
Considerando a situação exposta acima
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nível de significância de 5 \%.
b) Defina a região crítica
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?

Passo 1

O enunciado diz que um escritório afirma que o desvio-padrão dos rendimentos não supera 5\%. Selecionou-se uma amostra de n=8 rendimentos (em \%) e assumiu-se distribuição normal. Para testar essa afirmação, usaremos o teste de hipótese para variância baseado na distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Formulamos as hipóteses no nível de significância \alpha=0,05:
H_0:\sigma \le 5\%, \quad H_1:\sigma > 5\%.

Passo 3

Como estatística de teste, definimos
\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2},
que, sob H_0, segue \chi^2 com n-1=7 graus de liberdade. A região crítica de nível \alpha=0,05 para teste unilateral à direita é
\chi^2 > \chi^2_{0,95;7} = 14,067.

Passo 4

Calculamos a média e a variância amostral:
\bar x=\frac{23,6+22,8+25,7+24,8+26,4+24,3+23,9+25}{8}=24,5625\%,
\sum_{i=1}^8(x_i-\bar x)^2=9,4597, \quad s^2=\frac{9,4597}{7}=1,3514, \quad s=1,1626\%.
Logo,
\chi^2=\frac{7\cdot1,3514}{5^2}=\frac{9,4597}{25}=0,3784.

Passo 5

Comparando com o valor crítico 14,067, vemos que
0,3784 < 14,067,
logo não rejeitamos H_0. Não há evidência de que o desvio-padrão exceda 5\%.

Resposta

(a) H_0: \sigma \le 5\%, H_1: \sigma > 5\%, com \alpha=0,05.
(b) Região crítica: \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}>14,067.
(c) Como \chi^2=0,3784<14,067, não rejeitamos H_0; a amostra não indica desvio-padrão superior a 5\%.

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