Questão 5 - Escreva sobre o procedimento de teste construído com base na razão de verossimilhança.
a) Qual o propósito do teste?
b) Quais as diferenças nessa construção entre testes de hipóteses simples e compostas?
c) Explique em linhas gerais o propósito do lema Neyman Person, da razão de verossimilhança monótona e da razão generalizada

Passo 1

O enunciado pede para descrever o procedimento de teste baseado na razão de verossimilhança, indicando (a) seu propósito, (b) como muda entre hipóteses simples e compostas e (c) qual é o papel do lema de Neyman–Pearson, da razão de verossimilhança monótona e da razão de verossimilhança generalizada. O conteúdo é de testes de hipóteses em estatística e requer entender verossimilhança L(\theta;x), razão de verossimilhança e conceitos de tamanho e potência do teste.

Passo 2

O propósito do teste pela razão de verossimilhança é construir uma regra de decisão que, para dados observados x, rejeite a hipótese nula H_0 quando a evidência contra H_0 for grande. Define-se a estatística de teste
\Lambda(x) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta;x)}{\sup_{\theta\in\Theta}L(\theta;x)},
onde \Theta_0 é o espaço de parâmetros sob H_0 e \Theta o total. Rejeita-se H_0 quando \Lambda(x) é muito pequena, controlando a probabilidade de erro tipo I (tamanho do teste).

Passo 3

Na construção para hipóteses simples H_0:\theta=\theta_0 versus H_1:\theta=\theta_1, ambos pontos fixos, a razão de verossimilhança fica simples:
\Lambda(x) = \frac{L(\theta_0;x)}{L(\theta_1;x)},
e a regra ótima (para dado nível \alpha) é diretamente rejeitar H_0 se
\Lambda(x)\le k.
Já em casos compostos, pelo menos um dos conjuntos \Theta_0 ou \Theta_1 é um intervalo ou região de valores. A razão geral
\Lambda(x) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta;x)}{\sup_{\theta\in\Theta_0\cup\Theta_1}L(\theta;x)}
pede maximizar sobre essas regiões, e a regra de rejeição baseia-se nesse quociente em vez de dois pontos específicos.

Passo 4

O lema de Neyman–Pearson garante que, entre todos os testes de mesmo nível \alpha, o teste pela razão de verossimilhança simples versus simples é o mais poderoso. A razão de verossimilhança monótona (MLR, monotone likelihood ratio) aparece quando a família de verossimilhanças tem ordem natural em estatística suficiente; aí existem testes uniformly most powerful (UMP) para hipóteses unilaterais. A razão de verossimilhança generalizada (GLR, generalized likelihood ratio) estende o critério para hipóteses compostas sem exigir MLR, usando \sup_{\Theta_0}L versus \sup_{\Theta} e recorrendo, normalmente, a aproximações assintóticas da estatística -2\log\Lambda(x) para determinar regiões críticas.

Resposta

(a) O propósito do teste pela razão de verossimilhança é comparar a melhor verossimilhança sob H_0 com a melhor verossimilhança geral, rejeitando H_0 quando essa razão \Lambda(x) for pequena, de modo a controlar o erro tipo I.
(b) Para testes simples versus simples, \Lambda(x)=L(\theta_0;x)/L(\theta_1;x) é simples de calcular e o lema de Neyman–Pearson garante poder máximo. Em hipóteses compostas, maximiza-se L sobre conjuntos \Theta_0 e \Theta, e não se tem garantia de potência ótima global, exigindo às vezes condições adicionais (como MLR) para obter testes UMP.
(c) O lema de Neyman–Pearson afirma que o teste que rejeita H_0 quando L(\theta_0;x)/L(\theta_1;x)\le k é o mais poderoso para simples versus simples. A razão de verossimilhança monótona identifica famílias em que estatísticas ordinais produzem testes UMP para hipóteses unilaterais. A razão generalizada é uma extensão prática para hipóteses compostas, usando -2\log\Lambda(x) e resultados assintóticos para definir regiões críticas.

Exercícios relacionados