Questão 5 - Escreva sobre o procedimento de teste construído com base na razão de verossimilhança.
a) Qual o propósito do teste?
b) Quais as diferenças nessa construção entre testes de hipóteses simples e compostas?
c) Explique em linhas gerais o propósito do lema Neyman Person, da razão de verossimilhança monótona e da razão generalizada
a) Qual o propósito do teste?
b) Quais as diferenças nessa construção entre testes de hipóteses simples e compostas?
c) Explique em linhas gerais o propósito do lema Neyman Person, da razão de verossimilhança monótona e da razão generalizada
Passo 1
O enunciado pede para descrever o procedimento de teste baseado na razão de verossimilhança, indicando (a) seu propósito, (b) como muda entre hipóteses simples e compostas e (c) qual é o papel do lema de Neyman–Pearson, da razão de verossimilhança monótona e da razão de verossimilhança generalizada. O conteúdo é de testes de hipóteses em estatística e requer entender verossimilhança
, razão de verossimilhança e conceitos de tamanho e potência do teste.
Passo 2
O propósito do teste pela razão de verossimilhança é construir uma regra de decisão que, para dados observados
, rejeite a hipótese nula
quando a evidência contra
for grande. Define-se a estatística de teste
onde
é o espaço de parâmetros sob
e
o total. Rejeita-se
quando
é muito pequena, controlando a probabilidade de erro tipo I (tamanho do teste).
Passo 3
Na construção para hipóteses simples
versus
, ambos pontos fixos, a razão de verossimilhança fica simples:
e a regra ótima (para dado nível
) é diretamente rejeitar
se
.
Já em casos compostos, pelo menos um dos conjuntos ou
é um intervalo ou região de valores. A razão geral
Já em casos compostos, pelo menos um dos conjuntos
pede maximizar sobre essas regiões, e a regra de rejeição baseia-se nesse quociente em vez de dois pontos específicos.
Passo 4
O lema de Neyman–Pearson garante que, entre todos os testes de mesmo nível
, o teste pela razão de verossimilhança simples versus simples é o mais poderoso. A razão de verossimilhança monótona (MLR, monotone likelihood ratio) aparece quando a família de verossimilhanças tem ordem natural em estatística suficiente; aí existem testes uniformly most powerful (UMP) para hipóteses unilaterais. A razão de verossimilhança generalizada (GLR, generalized likelihood ratio) estende o critério para hipóteses compostas sem exigir MLR, usando
versus
e recorrendo, normalmente, a aproximações assintóticas da estatística
para determinar regiões críticas.
Resposta
(a) O propósito do teste pela razão de verossimilhança é comparar a melhor verossimilhança sob
com a melhor verossimilhança geral, rejeitando
quando essa razão
for pequena, de modo a controlar o erro tipo I.
(b) Para testes simples versus simples, é simples de calcular e o lema de Neyman–Pearson garante poder máximo. Em hipóteses compostas, maximiza-se
sobre conjuntos
e
, e não se tem garantia de potência ótima global, exigindo às vezes condições adicionais (como MLR) para obter testes UMP.
(c) O lema de Neyman–Pearson afirma que o teste que rejeita quando
é o mais poderoso para simples versus simples. A razão de verossimilhança monótona identifica famílias em que estatísticas ordinais produzem testes UMP para hipóteses unilaterais. A razão generalizada é uma extensão prática para hipóteses compostas, usando
e resultados assintóticos para definir regiões críticas.
(b) Para testes simples versus simples,
(c) O lema de Neyman–Pearson afirma que o teste que rejeita