2 (II/2001, modificado). Assinale (V) se a afirmativa for totalmente verdadeira ou (F) caso contrário e indique aonde deve ser corrigido.
a.( ) Para valores
tais que
, tem-se que
.
b.( ) A variância amostral mede a dispersão em torno da média aritmética e resulta sempre em um valor não negativo.
c.( ) Quanto ao valor mediano (
) para uma amostra com
observações, pode-se afirmar que há
observações maiores e também
observações menores que
.
d.( ) O coeficiente de correlação linear é admensional e o desvio-padrão é expresso na mesma unidade de medida dos dados.
e.( ) O erro-padrão da média é uma medida de dispersão que informa a precisão com que a média é estimada, pois representa o desvio-padrão da distribuição amostral da média.
f.( ) As amostras
e
possuem variâncias
e portanto são duas amostras com igual homogeneidade ou dispersão relativa.
a.( ) Para valores
b.( ) A variância amostral mede a dispersão em torno da média aritmética e resulta sempre em um valor não negativo.
c.( ) Quanto ao valor mediano (
d.( ) O coeficiente de correlação linear é admensional e o desvio-padrão é expresso na mesma unidade de medida dos dados.
e.( ) O erro-padrão da média é uma medida de dispersão que informa a precisão com que a média é estimada, pois representa o desvio-padrão da distribuição amostral da média.
f.( ) As amostras
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmativas sobre estatística descritiva: médias (harmônica, geométrica e aritmética), variância amostral, mediana, coeficiente de correlação, erro-padrão da média e dispersão relativa. Nosso objetivo é julgar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F) e, quando falsa, indicar a correção.
Passo 2
Para a afirmativa (a): em estatística, para dados positivos
, vale sempre a desigualdade
onde
é a média harmônica,
é a média geométrica e
é a média aritmética. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
A afirmativa (b) diz que a variância amostral mede dispersão em torno da média aritmética e é sempre não negativa. De fato, por definição
Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Na afirmativa (c) afirma-se que há
observações maiores e
menores que a mediana
. Isso só ocorre, no máximo, quando
é par e os dois valores centrais coincidem. De modo geral:
- Se
é ímpar, existem observações abaixo e acima de . - Se
é par, ao ordenar os dados, há valores menores ou iguais e valores maiores ou iguais a , mas nem todos estritamente menores ou maiores.
Logo, (c) é falsa. Correção: para amostra de tamanho, a mediana divide os dados em duas metades de tamanho , não necessariamente com exatamente valores estritamente menores e maiores.
Passo 5
O coeficiente de correlação linear de Pearson é adimensional, pois é uma razão normalizada de covariância por desvios-padrão, e o desvio-padrão
tem unidade igual à dos dados. Assim, (d) é verdadeira.
Passo 6
Afirmativa (e): o erro-padrão da média é definido como
que de fato é o desvio-padrão da distribuição amostral de
e quantifica a precisão da estimativa da média. Logo, (e) é verdadeira.
Passo 7
Para a afirmativa (f), calculemos as variâncias amostrais de
e
. Em ambos, a média é
(para
) ou
(para
), e
São iguais como variância absoluta. Porém, dispersão relativa se mede pelo coeficiente de variação
que difere muito entre
e
. Logo, (f) é falsa. Correção: apesar de
, suas dispersões relativas são diferentes, pois
e
.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) F. Correção: para ímpar há
observações abaixo e
acima da mediana; para
par, a mediana deixa
valores ≤ e
≥, mas não estritamente menores e maiores.
(d) V
(e) V
(f) F. Correção: , mas os coeficientes de variação diferem, logo as dispersões relativas não são iguais.
(b) V
(c) F. Correção: para
(d) V
(e) V
(f) F. Correção: