2 (II/2001, modificado). Assinale (V) se a afirmativa for totalmente verdadeira ou (F) caso contrário e indique aonde deve ser corrigido.
a.( ) Para valores x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} tais que x_{i}>0 \forall i, tem-se que \bar{X}_{H} \leq \bar{X}_{G} \leq \bar{X}.
b.( ) A variância amostral mede a dispersão em torno da média aritmética e resulta sempre em um valor não negativo.
c.( ) Quanto ao valor mediano ( M d ) para uma amostra com n observações, pode-se afirmar que há n / 2 observações maiores e também n / 2 observações menores que M d.
d.( ) O coeficiente de correlação linear é admensional e o desvio-padrão é expresso na mesma unidade de medida dos dados.
e.( ) O erro-padrão da média é uma medida de dispersão que informa a precisão com que a média é estimada, pois representa o desvio-padrão da distribuição amostral da média.
f.( ) As amostras A:\{15,13,10,7,4\} e B:\{105,103,100,97,94\} possuem variâncias S_{A}^{2}=S_{B}^{2}=19,7 e portanto são duas amostras com igual homogeneidade ou dispersão relativa.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmativas sobre estatística descritiva: médias (harmônica, geométrica e aritmética), variância amostral, mediana, coeficiente de correlação, erro-padrão da média e dispersão relativa. Nosso objetivo é julgar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F) e, quando falsa, indicar a correção.

Passo 2

Para a afirmativa (a): em estatística, para dados positivos x_{1},\dots,x_{n}>0, vale sempre a desigualdade
\bar{X}_{H}\;\le\;\bar{X}_{G}\;\le\;\bar{X},
onde \bar{X}_{H} é a média harmônica, \bar{X}_{G} é a média geométrica e \bar{X} é a média aritmética. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

A afirmativa (b) diz que a variância amostral mede dispersão em torno da média aritmética e é sempre não negativa. De fato, por definição
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}\;\ge\;0.
Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Na afirmativa (c) afirma-se que há n/2 observações maiores e n/2 menores que a mediana Md. Isso só ocorre, no máximo, quando n é par e os dois valores centrais coincidem. De modo geral:
  • Se n é ímpar, existem (n-1)/2 observações abaixo e (n-1)/2 acima de Md.
  • Se n é par, ao ordenar os dados, há n/2 valores menores ou iguais e n/2 valores maiores ou iguais a Md, mas nem todos estritamente menores ou maiores.
    Logo, (c) é falsa. Correção: para amostra de tamanho n, a mediana divide os dados em duas metades de tamanho \lfloor n/2\rfloor, não necessariamente com exatamente n/2 valores estritamente menores e maiores.

Passo 5

O coeficiente de correlação linear de Pearson é adimensional, pois é uma razão normalizada de covariância por desvios-padrão, e o desvio-padrão S tem unidade igual à dos dados. Assim, (d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmativa (e): o erro-padrão da média é definido como
\mathrm{SE}(\bar{X})=\frac{S}{\sqrt{n}},
que de fato é o desvio-padrão da distribuição amostral de \bar{X} e quantifica a precisão da estimativa da média. Logo, (e) é verdadeira.

Passo 7

Para a afirmativa (f), calculemos as variâncias amostrais de A=\{15,13,10,7,4\} e B=\{105,103,100,97,94\}. Em ambos, a média é \bar{X}=9{,}8 (para A) ou \bar{X}=99{,}8 (para B), e
S^{2}=\frac{\sum(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}=\frac{78{,}8}{4}=19{,}7.
São iguais como variância absoluta. Porém, dispersão relativa se mede pelo coeficiente de variação
\mathrm{CV}=\frac{S}{\bar{X}},
que difere muito entre A e B. Logo, (f) é falsa. Correção: apesar de S_{A}^{2}=S_{B}^{2}, suas dispersões relativas são diferentes, pois \mathrm{CV}_{A}\approx0{,}45 e \mathrm{CV}_{B}\approx0{,}045.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) F. Correção: para n ímpar há (n-1)/2 observações abaixo e (n-1)/2 acima da mediana; para n par, a mediana deixa n/2 valores ≤ e n/2 ≥, mas não estritamente menores e maiores.
(d) V
(e) V
(f) F. Correção: S_{A}^{2}=S_{B}^{2}, mas os coeficientes de variação diferem, logo as dispersões relativas não são iguais.

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