7.) (2009-2) O lucro L de uma empresa (em reais) com a venda de x unidades de um produto pode ser modelado pela equação L(x)=500 x-\frac{x^{2}}{4}. As vendas estão aumentando à taxa de dez unidades por dia. Determine a taxa devariação do lucro, em reais por dia, no momento em que a empresa acabou de vender 500 unidades.

Passo 1

O enunciado dá o lucro da empresa em função do número de unidades vendidas:
L(x)=500\,x - \frac{x^{2}}{4}
e informa que as vendas x crescem à taxa de \frac{dx}{dt}=10 unidades por dia. O conteúdo aqui é derivada de função e regra da cadeia para encontrar \frac{dL}{dt}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de L em relação a x. Usando regras usuais,
\frac{dL}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(500\,x\Bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^2}{4}\Bigr) = 500 \;-\;\frac{2x}{4} =500 - \frac{x}{2}.

Passo 3

Agora avaliamos essa derivada no ponto em que a empresa acabou de vender x=500 unidades:
\frac{dL}{dx}\Bigl|_{x=500} =500 - \frac{500}{2} =500 - 250 =250.

Passo 4

Pela regra da cadeia, a taxa de variação do lucro em relação ao tempo é
\frac{dL}{dt} = \frac{dL}{dx}\,\frac{dx}{dt} =250 \times 10.

Passo 5

Fazendo o produto,
\frac{dL}{dt}=2500.

Resposta

A taxa de variação do lucro, no momento em que x=500, é de 2500 reais por dia.

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