1. Usando diferencial, mostre que:
    a) \operatorname{sen} x \approx x para x próximo de zero;
    b) \operatorname{tg}(0,1) \approx 0,1

Passo 1

O enunciado pede para usar diferencial (aproximação linear) e mostrar que
a) \operatorname{sen} x \approx x quando x é pequeno;
b) \operatorname{tg}(0,1)\approx0,1.
O conteúdo é a aproximação de funções por sua reta tangente em torno de um ponto-base, usando diferenciais.

Passo 2

A ideia geral é: se f é diferenciável em x_0 e \Delta x é um incremento pequeno, então
f(x_0 + \Delta x)\approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x.
Esse é o polinômio de Taylor de primeira ordem (reta tangente) em x_0.

Passo 3

Para f(x)=\operatorname{sen} x, escolhemos x_0=0 e \Delta x = x.
Então f(0)=\sen0=0 e f'(x)=\cos x implica f'(0)=\cos0=1.
Logo
\operatorname{sen} x = f(0+\Delta x)\approx f(0)+f'(0)\,\Delta x = 0 + 1\cdot x = x.

Passo 4

Para g(x)=\operatorname{tg} x, também tomamos x_0=0 e \Delta x=0,1.
Temos g(0)=\tg0=0 e g'(x)=\operatorname{sec}^2 x implica g'(0)=\operatorname{sec}^2 0=1.
Logo
\operatorname{tg}(0,1)=g(0+0,1)\approx g(0)+g'(0)\,0,1 = 0 + 1\cdot0,1 = 0,1.

Resposta

a) \operatorname{sen} x\approx x.
b) \operatorname{tg}(0,1)\approx0,1.

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