Uma pedra é jogada em um lago provocando uma onda circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A taxa de variação, com o tempo, \mathrm{em}^{\mathrm{cm}} / \mathrm{s}, da área do círculo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20 \mathrm{~cm} é: \quad A=\pi R^{2}
a) 120 \pi
b) 6 \pi
c) 12 \pi
d) 60 \pi
e) 150 \pi

Passo 1

O enunciado diz que uma onda circular de raio r cresce a uma taxa constante de \frac{dr}{dt}=3 cm/s e pede a taxa de variação da área do círculo, \frac{dA}{dt}, quando r=20 cm. O conteúdo usado é derivada de função composta (regra da cadeia) aplicada à área de um círculo.

Passo 2

A área do círculo é dada por
A = \pi r^2.
Para encontrar \frac{dA}{dt}, aplicamos derivação em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dr}(\pi r^2)\,\frac{dr}{dt} = 2\pi r \,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Substituindo r=20 cm e \frac{dr}{dt}=3 cm/s, obtemos
\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 20 \cdot 3 = 120\pi.

Resposta

120\pi

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