Com base nessa distinção, avalie as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. Ao contrário da convergência pontual, na convergência uniforme os pontos da curva não tendem isoladamente a um ponto, mas a curva como um todo tende à curva da função limite.
PORQUE
II. A convergência pontual ocorre igualmente para todos os pontos do domínio e, em decorrência disso, acontece uma convergência lenta.
Assinale a alternativa correta.
Escolha uma opção:
a. As afirmações I e II são proposições falsas.
b. As afirmações I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
c. A afirmação I é uma proposição verdadeira e a ll é falsa.
d. As afirmações I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
e. A afirmação I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
I. Ao contrário da convergência pontual, na convergência uniforme os pontos da curva não tendem isoladamente a um ponto, mas a curva como um todo tende à curva da função limite.
a. As afirmações I e II são proposições falsas.
b. As afirmações I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
c. A afirmação I é uma proposição verdadeira e a ll é falsa.
d. As afirmações I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
e. A afirmação I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado quer que a gente avalie duas afirmações sobre diferenças entre convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções. Precisamos lembrar as definições:
- Convergência pontual: para cada
e cada , existe (que pode depender de ) tal que para todo . - Convergência uniforme: para cada
existe (independente de ) tal que para todo e todo no domínio.
Passo 2
Analisando a afirmação I: ela diz que, ao contrário da convergência pontual que trata cada ponto isoladamente, na convergência uniforme “a curva como um todo” tende à curva limite. Isso reflete exatamente o fato de que em convergência uniforme escolhemos um mesmo
para todo
, garantindo que o gráfico de
fique próximo ao de
simultaneamente em toda parte. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II: ela afirma que “a convergência pontual ocorre igualmente para todos os pontos do domínio e, em decorrência disso, acontece uma convergência lenta.” Mas convergência pontual não exige um mesmo índice
para todos os pontos — cada
pode precisar de um
distinto — e não há garantia de “lentidão” uniforme. Portanto, II é falsa.
Resposta
(c)