Com base nessa distinção, avalie as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. Ao contrário da convergência pontual, na convergência uniforme os pontos da curva não tendem isoladamente a um ponto, mas a curva como um todo tende à curva da função limite.

PORQUE

II. A convergência pontual ocorre igualmente para todos os pontos do domínio e, em decorrência disso, acontece uma convergência lenta.
Assinale a alternativa correta.
Escolha uma opção:
a. As afirmações I e II são proposições falsas.
b. As afirmações I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
c. A afirmação I é uma proposição verdadeira e a ll é falsa.
d. As afirmações I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
e. A afirmação I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado quer que a gente avalie duas afirmações sobre diferenças entre convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções. Precisamos lembrar as definições:
  • Convergência pontual: para cada \varepsilon>0 e cada x, existe N (que pode depender de x) tal que \lvert f_n(x)-f(x)\rvert<\varepsilon para todo n\ge N.
  • Convergência uniforme: para cada \varepsilon>0 existe N (independente de x) tal que \lvert f_n(x)-f(x)\rvert<\varepsilon para todo n\ge N e todo x no domínio.

Passo 2

Analisando a afirmação I: ela diz que, ao contrário da convergência pontual que trata cada ponto isoladamente, na convergência uniforme “a curva como um todo” tende à curva limite. Isso reflete exatamente o fato de que em convergência uniforme escolhemos um mesmo N para todo x, garantindo que o gráfico de f_n fique próximo ao de f simultaneamente em toda parte. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II: ela afirma que “a convergência pontual ocorre igualmente para todos os pontos do domínio e, em decorrência disso, acontece uma convergência lenta.” Mas convergência pontual não exige um mesmo índice N para todos os pontos — cada x pode precisar de um N(x) distinto — e não há garantia de “lentidão” uniforme. Portanto, II é falsa.

Resposta

(c)

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