O raio de uma bola foi medido obtendo-se 10 cm .
a) Se a possibilidade de erro máximo nessa medida for de 0,1 c m, dê uma aproximação para o erro máximo no cálculo do volume desta bola.
b) Com que precisão deve ter sido medido o raio da bola para que o cálculo do volume tenha erro máximo, aproximadamente, igual a 1 \mathrm{~cm}^{3} ?

Passo 1

O enunciado diz que medimos o raio de uma bola e obtivemos \,r=10\,\text{cm}, com erro máximo em \,r dado por \,\Delta r=0,1\,\text{cm}. O volume da bola é
V = \tfrac{4}{3}\pi r^3
e vamos usar a aproximação diferencial (linear) para estimar o erro máximo em V.

Passo 2

Calculamos a derivada de V em relação a r para ver como variações em r afetam V:
\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2.
Assim, a variação aproximada do volume é
dV \approx \frac{dV}{dr}\,dr = 4\pi r^2\,dr.

Passo 3

Para a parte (a), substituímos r=10 e dr=0,1 em
dV \approx 4\pi\,(10)^2 \times 0,1 = 40\pi.
Em valor numérico, 40\pi\approx125,66. Logo, o erro máximo aproximado no volume é
\Delta V \approx 40\pi\approx125,66\;\mathrm{cm}^3.

Passo 4

Na parte (b), queremos que o erro máximo no volume seja aproximadamente 1\,\mathrm{cm}^3, isto é,
dV \approx 1 \approx 4\pi r^2\,dr.
Resolvendo para dr, com r=10:
dr \approx \frac{1}{4\pi r^2}.

Passo 5

Substituindo r=10:
dr \approx \frac{1}{4\pi\,(10)^2} = \frac{1}{400\pi} \approx 0,0008\;\mathrm{cm}.
Isso significa que a medição do raio precisa ter precisão de cerca de 8\times10^{-4}\,\mathrm{cm}.

Resposta

a) \Delta V\approx40\pi\approx125,66\;\mathrm{cm}^3.
b) \Delta r\approx\frac{1}{400\pi}\approx0,0008\;\mathrm{cm}.

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