(2010-1) A derivada segunda da função f(x)=\ln \left(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right) é:
a) \frac{1}{1+e^{x}}
b) \frac{-1}{1+e^{x}}
c) \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}
d) \frac{-e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}
e) \begin{aligned} & 0 \\\ & x^{\prime}=1 \\\ & \ln \left(1+e^{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{1+e^{x}} \cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
f(x)=\ln\!\Bigl(\frac{e^x}{1+e^x}\Bigr)
O conteúdo é derivação de logaritmo e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a propriedade \ln(a/b)=\ln a-\ln b para reescrever
f(x)=\ln(e^x)-\ln(1+e^x)=x-\ln(1+e^x).

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando \frac{d}{dx}x=1 e \frac{d}{dx}\ln(1+e^x)=\frac{e^x}{1+e^x}:
f'(x)=1-\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x}.

Passo 4

Para a segunda derivada aplicamos a regra da cadeia em \frac{d}{dx}(1+e^x)^{-1}:
f''(x)=-1\cdot(1+e^x)^{-2}\cdot e^x=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o resultado \displaystyle -\frac{e^x}{(1+e^x)^2}
corresponde à letra (d).

Resposta

(d)

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