(2016-1) A derivada da função f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) em x=1 é igual a:
a) 11
b) 0
c) 1 / 2
d) \ln 2
e) 2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) em x=1.
Conteúdo: regra da cadeia para derivadas de logaritmo natural.

Passo 2

Usamos que se g(x)=x^{2}+1 então f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr) e
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 3

Calculamos g'(x). Como g(x)=x^{2}+1,
g'(x)=2x.
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f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Para x=1,
f'(1)=\frac{2\cdot1}{1^{2}+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas \bigl(11,\,0,\,\tfrac12,\,\ln2,\,2\bigr), nenhuma é igual a 1.

Resposta

A derivada em x=1 é 1, valor que não consta entre as alternativas fornecidas.

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