Determine a Transformada de Laplace de f(t)=4 t^{2}-7.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=4t^{2}-7. Para resolver, vamos usar a definição de transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de linearidade e a fórmula já conhecida
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad(n\in\mathbb{N}),\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}\{4t^{2}-7\} =4\,\mathcal{L}\{t^{2}\}-7\,\mathcal{L}\{1\}.

Passo 3

Usando as fórmulas padrão:
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}, \qquad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 4

Substituindo na expressão linearizada:
\mathcal{L}\{f(t)\} =4\cdot\frac{2}{s^{3}}-7\cdot\frac{1}{s} =\frac{8}{s^{3}}-\frac{7}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{4t^{2}-7\}=\frac{8}{s^{3}}-\frac{7}{s}.

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